2. Distribution d’une variable
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Dans ce texte, on notera par z α le quantile α d’une distribution normale
standardisée
12 . Le tableau A.1 (donné en annexe) nous permet de calculer ces
quantiles. Elle contient les valeurs de la fonction de répartition d’une distribution normale standardisée, que l’on note Φ 0,1 (x), pour de nombreuses valeurs de x ≥ 0
13 . Par définition, on a donc Φ 0,1 (z α ) = α. Par symétrie, on a
Φ 0,1 (−x) = 1 − Φ 0,1 (x) et donc z 1−α = −z α . On a ainsi par exemple :
Φ 0,1 (1.645) = 0.95
et donc
z 0.95 = 1.645
Φ 0,1 (1.96) = 0.975
et donc
z 0.975 = 1.96
Φ 0,1 (−1.96) = 1 − Φ 0,1 (1.96) = 0.025 et donc z 0.025 = −1.96
Φ 0,1 (0) = 0.5
et donc
z 0.5 = 0
Plus généralement, le tableau A.1 nous permet de calculer les quantiles de
n’importe quelle variable Y avec distribution normale de moyenne μ et d’écart
type σ. Les valeurs tabulées nous indiquent à quel quantile correspond μ + x · σ
pour de nombreuses valeurs de x. Par exemple :
• la valeur μ + 1.645 · σ correspond au quantile 95 %
• la valeur μ + 1.96 · σ correspond au quantile 97.5 %.
Par symétrie, la valeur μ − 1.645 · σ correspond au quantile 5 % et la valeur
μ − 1.96 · σ correspond au quantile 2.5 %. Ainsi, pour une distribution normale,
90 % des observations seront comprises dans l’intervalle μ ± 1.645 · σ, alors
que 95 % des observations seront comprises dans l’intervalle μ ± 1.96 · σ. En
pratique, un intervalle contenant 95 % des observations est souvent calculé en
utilisant l’approximation μ ± 2 · σ (comme on le fera souvent au cours de ce
texte).
Exemple 2.7 Si on admet que la hauteur des Onobrychis est normalement
distribuée avec une moyenne de 21.7 cm et un écart type de 3.8 cm, le quantile
95 % est donné par 21.7 + 1.645 · 3.8 = 28.0 cm et le quantile 97.5 % par
21.7 + 1.96 · 3.8 = 29.1 cm. Par symétrie, le quantile 5 % est donné par 21.7 −
1.645 · 3.8 = 15.4 cm et le quantile 2.5 % par 21.7 − 1.96 · 3.8 = 14.3 cm. On
aura ainsi 90 % des Onobrychis dans l’intervalle [15.4; 28.0] cm et 95 % des
Onobrychis dans l’intervalle [14.3; 29.1] cm.
Le tableau A.1 nous permet ainsi de calculer la proportion des observations
qui se trouvent à l’intérieur d’un intervalle donné (c’est-à-dire la probabilité
12 Attention, dans certains ouvrages zα désigne le quantile 1 − α (et non le quantile α)
d’une distribution normale standardisée.
13 Ce tableau a été produit en utilisant la commande pnorm du logiciel statistique R. Ainsi
pnorm(1.96) nous donne 0.975. Notons aussi que la fonction réciproque dans R est la commande qnorm. Ainsi qnorm(0.975) nous donne 1.96.
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Dans ce texte, on notera par z α le quantile α d’une distribution normale
standardisée
12 . Le tableau A.1 (donné en annexe) nous permet de calculer ces
quantiles. Elle contient les valeurs de la fonction de répartition d’une distribution normale standardisée, que l’on note Φ 0,1 (x), pour de nombreuses valeurs de x ≥ 0
13 . Par définition, on a donc Φ 0,1 (z α ) = α. Par symétrie, on a
Φ 0,1 (−x) = 1 − Φ 0,1 (x) et donc z 1−α = −z α . On a ainsi par exemple :
Φ 0,1 (1.645) = 0.95
et donc
z 0.95 = 1.645
Φ 0,1 (1.96) = 0.975
et donc
z 0.975 = 1.96
Φ 0,1 (−1.96) = 1 − Φ 0,1 (1.96) = 0.025 et donc z 0.025 = −1.96
Φ 0,1 (0) = 0.5
et donc
z 0.5 = 0
Plus généralement, le tableau A.1 nous permet de calculer les quantiles de
n’importe quelle variable Y avec distribution normale de moyenne μ et d’écart
type σ. Les valeurs tabulées nous indiquent à quel quantile correspond μ + x · σ
pour de nombreuses valeurs de x. Par exemple :
• la valeur μ + 1.645 · σ correspond au quantile 95 %
• la valeur μ + 1.96 · σ correspond au quantile 97.5 %.
Par symétrie, la valeur μ − 1.645 · σ correspond au quantile 5 % et la valeur
μ − 1.96 · σ correspond au quantile 2.5 %. Ainsi, pour une distribution normale,
90 % des observations seront comprises dans l’intervalle μ ± 1.645 · σ, alors
que 95 % des observations seront comprises dans l’intervalle μ ± 1.96 · σ. En
pratique, un intervalle contenant 95 % des observations est souvent calculé en
utilisant l’approximation μ ± 2 · σ (comme on le fera souvent au cours de ce
texte).
Exemple 2.7 Si on admet que la hauteur des Onobrychis est normalement
distribuée avec une moyenne de 21.7 cm et un écart type de 3.8 cm, le quantile
95 % est donné par 21.7 + 1.645 · 3.8 = 28.0 cm et le quantile 97.5 % par
21.7 + 1.96 · 3.8 = 29.1 cm. Par symétrie, le quantile 5 % est donné par 21.7 −
1.645 · 3.8 = 15.4 cm et le quantile 2.5 % par 21.7 − 1.96 · 3.8 = 14.3 cm. On
aura ainsi 90 % des Onobrychis dans l’intervalle [15.4; 28.0] cm et 95 % des
Onobrychis dans l’intervalle [14.3; 29.1] cm.
Le tableau A.1 nous permet ainsi de calculer la proportion des observations
qui se trouvent à l’intérieur d’un intervalle donné (c’est-à-dire la probabilité
12 Attention, dans certains ouvrages zα désigne le quantile 1 − α (et non le quantile α)
d’une distribution normale standardisée.
13 Ce tableau a été produit en utilisant la commande pnorm du logiciel statistique R. Ainsi
pnorm(1.96) nous donne 0.975. Notons aussi que la fonction réciproque dans R est la commande qnorm. Ainsi qnorm(0.975) nous donne 1.96.