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Statistique appliquée aux sciences de la vie
μ μ
σ σ
Figure 2.9 – Paramètres μ et σ pour une distribution normale.
moyenne μ et écart type σ est définie par :
φ μ,σ (y) =
1
√
2πσ 2
exp
−(y − μ)
2
2σ 2
.
La figure 2.9 nous en montre un exemplaire. Si une variable Y a une distribution normale avec moyenne μ et écart type σ, la probabilité d’obtenir une
observation entre deux valeurs a et b est donnée par :
Pr {a ≤ Y ≤ b} =
b
a
φ μ,σ (y) dy.
On dénotera par ailleurs la fonction de répartition d’une variable normale avec
moyenne μ et écart type σ par Φ μ,σ (y)
11 . Comme le montre la figure 2.9,
la moyenne μ est le centre de symétrie, alors que l’écart type σ est le point
d’inflexion de la fonction de densité. La figure 2.10 nous montre différentes
distributions normales. Le paramètre μ est une mesure de la tendance centrale
(on dit aussi de la position) de la distribution. Le paramètre σ est une mesure
de la variabilité (de la dispersion) de la distribution.
Pour une variable normale, les paramètres μ et σ ne constituent pas seulement un résumé de la distribution : ils caractérisent la distribution. En connaissant μ et σ, on connaît toute la distribution. En particulier, on connaît tous les
11 Notons que cette fonction de répartition Φμ,σ(y) ne peut pas s’écrire sous forme explicite
(elle est définie implicitement comme étant l’intégrale de la densité φμ,σ(y)).