2. Distribution d’une variable
23
(logique : une mesure de variabilité ne peut pas être négative). On mentionnera
également d’autres règles analogues
10 :
• median(a + bY ) = a + b · median(Y )
• quantile(a + bY ) = a + b · quantile(Y ) (pour n’importe quel quantile)
• minimum(a + bY ) = a + b · minimum(Y )
• maximum(a + bY ) = a + b · maximum(Y )
• range(a + bY ) = |b| · range(Y )
• iqrange(a + bY ) = |b| · iqrange(Y )
• varcoef (bY ) = varcoef (Y ) (avec b positif).
Exemple 2.5 Un changement d’unités de centimètres en mètres (le remplacement d’une variable Y par Y/100) a les conséquences suivantes :
• mean(Y ) = 25 cm implique mean(Y/100) = 0.25 m
• variance(Y ) = 36 cm
2 implique variance(Y/100) = 0.0036 m
2
• stdev(Y ) = 6 cm implique stdev(Y/100) = 0.06 m.
Un changement d’unités de degrés Celsius en degrés Fahrenheit (le remplacement d’une variable Y par 32 + 1.8 · Y ) a les conséquences suivantes :
• mean(Y ) = 30
o C implique mean(32 + 1.8 · Y ) = 86 F
• variance(Y ) = 16
o C
2 implique variance(32 + 1.8 · Y ) = 51.84 F
2
• stdev(Y ) = 4
o C implique stdev(32 + 1.8 · Y ) = 7.2 F.
2.8 Distribution normale
On a déjà mentionné le concept de distribution normale. Il est temps de
définir mathématiquement la densité de probabilité d’une variable normale. En
fait, il n’existe pas une seule distribution normale. Il s’agit d’une famille de
distributions indexée par deux paramètres : la moyenne, que l’on notera ici
μ, et l’écart type, que l’on notera σ. La densité d’une variable normale avec
10 On a par ailleurs :
median(g(Y )) = g(median(Y ))
pour toute transformation monotone g (pas seulement pour g linéaire/affine), par exemple
pour g(Y ) = log(Y ) ou g(Y ) =
√
Y , cette propriété étant aussi valable pour n’importe quel
quantile, y compris pour le minimum et le maximum, mais pas pour la moyenne.
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(logique : une mesure de variabilité ne peut pas être négative). On mentionnera
également d’autres règles analogues
10 :
• median(a + bY ) = a + b · median(Y )
• quantile(a + bY ) = a + b · quantile(Y ) (pour n’importe quel quantile)
• minimum(a + bY ) = a + b · minimum(Y )
• maximum(a + bY ) = a + b · maximum(Y )
• range(a + bY ) = |b| · range(Y )
• iqrange(a + bY ) = |b| · iqrange(Y )
• varcoef (bY ) = varcoef (Y ) (avec b positif).
Exemple 2.5 Un changement d’unités de centimètres en mètres (le remplacement d’une variable Y par Y/100) a les conséquences suivantes :
• mean(Y ) = 25 cm implique mean(Y/100) = 0.25 m
• variance(Y ) = 36 cm
2 implique variance(Y/100) = 0.0036 m
2
• stdev(Y ) = 6 cm implique stdev(Y/100) = 0.06 m.
Un changement d’unités de degrés Celsius en degrés Fahrenheit (le remplacement d’une variable Y par 32 + 1.8 · Y ) a les conséquences suivantes :
• mean(Y ) = 30
o C implique mean(32 + 1.8 · Y ) = 86 F
• variance(Y ) = 16
o C
2 implique variance(32 + 1.8 · Y ) = 51.84 F
2
• stdev(Y ) = 4
o C implique stdev(32 + 1.8 · Y ) = 7.2 F.
2.8 Distribution normale
On a déjà mentionné le concept de distribution normale. Il est temps de
définir mathématiquement la densité de probabilité d’une variable normale. En
fait, il n’existe pas une seule distribution normale. Il s’agit d’une famille de
distributions indexée par deux paramètres : la moyenne, que l’on notera ici
μ, et l’écart type, que l’on notera σ. La densité d’une variable normale avec
10 On a par ailleurs :
median(g(Y )) = g(median(Y ))
pour toute transformation monotone g (pas seulement pour g linéaire/affine), par exemple
pour g(Y ) = log(Y ) ou g(Y ) =
√
Y , cette propriété étant aussi valable pour n’importe quel
quantile, y compris pour le minimum et le maximum, mais pas pour la moyenne.