2. Distribution d’une variable
21
on montre tout d’abord que :
i
(y i − ¯
y)
2
=
i
y
2
i − 2¯ y
i
y i + n¯ y
2
=
i
y
2
i − 2¯ y(n¯ y) + n¯ y
2
=
i
y
2
i − n¯ y
2
et on obtient :
variance(Y ) =
1
n
i
(y i − ¯
y)
2
=
1
n
i
y
2
i − n¯ y
2
=
1
n
i
y
2
i − ¯
y
2
= mean(Y
2 ) − mean
2 (Y )
→ la variance est donc aussi la moyenne des carrés moins le carré de la
moyenne
→ pour calculer la variance, on n’a donc pas besoin de connaître le détail des observations, mais seulement de connaître les deux moyennes
suivantes
9 :
1
n
i y i et
1
n
i y
2
i
→ la variance est une mesure de variabilité exprimée dans le carré des
unités des observations
• l’écart type : stdev(Y ) =
variance(Y ) =
1
n
i (y i − ¯
y) 2
→ l’écart type est la racine carrée de la variance
→ l’écart type est une mesure de variabilité exprimée dans la même unité
que les observations
→ l’écart type (tout comme la variance) est sensible aux valeurs extrêmes
• l’étendue : range(Y ) = y (n) − y (1)
→ l’étendue (en anglais : range) est égale à la valeur maximale moins la
valeur minimale des observations
→ l’étendue est difficile à définir dans une population infinie
→ l’étendue est hypersensible aux valeurs extrêmes
9 Alternativement, si on connaît le nombre n d’observations, on peut calculer la variance
à partir des deux sommes suivantes :
P
i y i et
P
i y 2
i .