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Statistique appliquée aux sciences de la vie
cancer du poumon (il s’agit des cas) et de 1357 non-malades (il s’agit des
témoins) et recherché (rétrospectivement) qui avait été fumeur et qui avait été
non fumeur. Les résultats étaient les suivants :
malade non-malade
fumeur
1350
1296
non-fumeur
7
6 1
À partir de ces données, on ne peut pas estimer les probabilités de développer
la maladie (ni donc les odds correspondants) chez les fumeurs et chez les nonfumeurs, les malades étant manifestement sur-repésentés dans cette étude. Par
contre, on peut estimer les proportions de fumeurs parmi les malades et parmi
les non-malades par 1350/1357 = 0.995 et 1296/1357 = 0.955, et donc les
odds correspondants par 0.995/0.005 et 0.955/0.045, ainsi que l’odds-ratio les
comparant par :
0.995/0.005
0.955/0.045
=
1350 · 61
1296 · 7
= 9.1.
Or, cet odds-ratio est également un estimateur de l’odds-ratio comparant les
odds de développer la maladie chez les fumeurs et chez les non-fumeurs. On
estime ainsi que l’odds de développer la maladie chez les fumeurs est 9.1 plus
élevé que l’odds de développer la maladie chez les non-fumeurs, bien que l’on
n’ait pas d’estimation de ces deux odds.
16.3 Inférence sur l’odds-ratio
On va voir à présent comment faire de l’inférence sur l’odds-ratio. On notera
tout d’abord que la distribution d’un odds empirique
π/(1 −
π) est loin d’être
normale (où
π dénote la proportion empirique correspondante). Par contre, une
transformation logarithmique le rapprochera de la normalité. On rappellera
ensuite qu’en utilisant la formule de Taylor, on a :
variance(log(Y )) ≈
variance(Y )
mean 2 (Y )
.
De façon plus générale, on a :
covariance(log(X), log(Y )) ≈
covariance(X, Y )
mean(X) · mean(Y )
.