16. Régression logistique
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On obtient ainsi (en rappelant que l’on a Var( π) = π(1 − π)/n, où n dénote la
taille de l’échantillon et π la véritable proportion) :
Var(log( π/(1 −
π))) = Var(log( π) − log(1 −
π))
= Var(log( π)) + Var(log(1 −
π))
−2Cov(log( π), log(1 −
π))
≈
π(1 − π)/n
π 2
+
π(1 − π)/n
(1 − π) 2 − 2
−π(1 − π)/n
π(1 − π)
=
1 − π
nπ
+
π
n(1 − π)
+
2
n
=
1
nπ
+
1
n(1 − π)
.
Considérons alors un odds-ratio empirique :
ω =
π 1 (1 −
π 0 )
π 0 (1 −
π 1 )
où
π 1 et
π 0 dénotent les proportions empiriques de 1 calculées à partir de
deux échantillons de tailles n 1 et n 0 d’observations indépendantes des variables
binaires Y 1 et Y 0 (avec véritables proportions π 1 et π 0 ) que l’on aimerait comparer. On a ainsi :
log( ω) = log
π 1 /(1 −
π 1 )
π 0 /(1 −
π 0 )
= log( π 1 /(1 −
π 1 )) − log( π 0 /(1 −
π 0 ))
et par conséquent :
Var(log( ω)) = Var(log( π 1 /(1 −
π 1 )) + Var(log( π 0 /(1 −
π 0 ))
≈
1
n 1 π 1
+
1
n 1 (1 − π 1 )
+
1
n 0 π 0
+
1
n 0 (1 − π 0 )
.
Si k 1 et k 0 dénotent le nombre de 1 dans ces échantillons, de sorte que
π 1 =
k 1 /n 1 et
π 0 = k 0 /n 0 , on estime cette variance par :
1
k 1
+
1
n 1 − k 1
+
1
k 0
+
1
n 0 − k 0
.
Afin d’obtenir un estimateur précis d’un odds-ratio, il faudra donc des fréquences k 1 , n 1 − k 1 , k 0 et n 0 − k 0 élevées dans chacune des quatre cases de la
table de contingence contenant les données. En dénotant par :
ω =
π 1 (1 − π 0 )
π 0 (1 − π 1 )
le véritable odds-ratio, on calcule un intervalle de confiance de Wald au niveau
1 − α pour log(ω) comme suit :
log( ω) ± z 1−α/2
1
k 1
+
1
n 1 − k 1
+
1
k 0
+
1
n 0 − k 0
.