16. Régression logistique
283
Dans une étude cas-témoins, la proportion de malades que l’on inclut dans
l’étude ne correspond pas forcément à la proportion de malades dans la population (ce que l’on appelle la prévalence de la maladie). En fait, les malades
seront souvent sur-représentés. On inclura par exemple 100 individus avec une
certaine maladie et 100 individus sans cette maladie même si la prévalence de
cette maladie dans la population est beaucoup plus petite que 50 %. On ne
pourra donc pas estimer à partir des données d’une étude cas-témoins la proportion de malades (la probabilité de développer la maladie) parmi les fumeurs
et la proportion de malades parmi les non-fumeurs. Par contre, on pourra estimer la proportion de fumeurs parmi les malades et la proportion de fumeurs
parmi les non-malades, et donc les comparer en calculant une différence de
proportion ou un odds-ratio.
Il se trouve pourtant que l’odds-ratio comparant la distribution binaire
« fumeur/non-fumeur » entre le groupe malade et le groupe non malade est
le même que l’odds-ratio comparant la distribution binaire « malade/nonmalade » entre le groupe fumeur et le groupe non fumeur. En notant par X le
tabac (avec X = 1 pour les fumeurs et X = 0 pour les non-fumeurs) et par Y
la maladie (avec Y = 1 pour les malades et Y = 0 pour les non-malades), et
en considérant la table de contingence suivante :
Y = 1 Y = 0
X = 1
a
b
X = 0
c
d
ces deux odds-ratios sont en effet égaux à :
ω =
a/(a+c)
c/(a+c)
b/(b+d)
d/(b+d)
=
a/(a+b)
b/(a+b)
c/(c+d)
d/(c+d)
=
ad
bc
.
Il s’agit là d’une propriété de symétrie remarquable de l’odds-ratio, que ne
partage pas la différence de proportion
3 .
Dans une étude cas-témoins, on a une estimation de l’odds-ratio comparant
les odds de développer une maladie chez les fumeurs et les non-fumeurs,
quand bien même on n’a pas d’estimation de ces odds.
Exemple 16.3 Une étude cas-témoins célèbre est celle conduite par Richard
Doll dans les années 1950, qui a considéré deux groupes de 1357 malades du
3 On notera au passage que grâce à cette propriété de symétrie, l’odds-ratio est parfois
considéré comme une mesure de corrélation entre deux variables binaires.
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Dans une étude cas-témoins, la proportion de malades que l’on inclut dans
l’étude ne correspond pas forcément à la proportion de malades dans la population (ce que l’on appelle la prévalence de la maladie). En fait, les malades
seront souvent sur-représentés. On inclura par exemple 100 individus avec une
certaine maladie et 100 individus sans cette maladie même si la prévalence de
cette maladie dans la population est beaucoup plus petite que 50 %. On ne
pourra donc pas estimer à partir des données d’une étude cas-témoins la proportion de malades (la probabilité de développer la maladie) parmi les fumeurs
et la proportion de malades parmi les non-fumeurs. Par contre, on pourra estimer la proportion de fumeurs parmi les malades et la proportion de fumeurs
parmi les non-malades, et donc les comparer en calculant une différence de
proportion ou un odds-ratio.
Il se trouve pourtant que l’odds-ratio comparant la distribution binaire
« fumeur/non-fumeur » entre le groupe malade et le groupe non malade est
le même que l’odds-ratio comparant la distribution binaire « malade/nonmalade » entre le groupe fumeur et le groupe non fumeur. En notant par X le
tabac (avec X = 1 pour les fumeurs et X = 0 pour les non-fumeurs) et par Y
la maladie (avec Y = 1 pour les malades et Y = 0 pour les non-malades), et
en considérant la table de contingence suivante :
Y = 1 Y = 0
X = 1
a
b
X = 0
c
d
ces deux odds-ratios sont en effet égaux à :
ω =
a/(a+c)
c/(a+c)
b/(b+d)
d/(b+d)
=
a/(a+b)
b/(a+b)
c/(c+d)
d/(c+d)
=
ad
bc
.
Il s’agit là d’une propriété de symétrie remarquable de l’odds-ratio, que ne
partage pas la différence de proportion
3 .
Dans une étude cas-témoins, on a une estimation de l’odds-ratio comparant
les odds de développer une maladie chez les fumeurs et les non-fumeurs,
quand bien même on n’a pas d’estimation de ces odds.
Exemple 16.3 Une étude cas-témoins célèbre est celle conduite par Richard
Doll dans les années 1950, qui a considéré deux groupes de 1357 malades du
3 On notera au passage que grâce à cette propriété de symétrie, l’odds-ratio est parfois
considéré comme une mesure de corrélation entre deux variables binaires.