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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Alors qu’une proportion est un nombre entre 0 et 1, un odds est un nombre
entre 0 et ∞. Les concepts d’odds et de proportion sont pourtant très proches
l’un de l’autre lorsque les valeurs sont petites.
Exemple 16.1 Lorsque l’on dit qu’il naît 105 garçons pour 100 filles, cela
veut dire que l’odds d’avoir un garçon à la naissance est de 1.05. La proportion
de garçons à la naissance (la probabilité d’avoir un garçon) est alors égale à
1.05/2.05 = 0.512. Alors que cette proportion est calculée en divisant le nombre
de garçons nés par le nombre total de naissances, l’odds correspondant est calculé en divisant le nombre de garçons nés par le nombre de filles nées. Les
deux quantités représentent toutefois la même information, qui est simplement
exprimée différemment.
Afin de comparer les distributions de deux variables binaires Y 1 et Y 0 , on a
introduit au chapitre 5 le concept de différence de proportion :
Λ = π 1 − π 0
où π 1 et π 0 dénotent les proportions de 1 pour les variables Y 1 et Y 0 . Alors que
l’on compare les proportions π 1 et π 0 via leur différence, on compare les odds
π 1 /(1 − π 1 ) et π 0 /(1 − π 0 ) via leur quotient :
ω =
π 1 /(1 − π 1 )
π 0 /(1 − π 0 )
=
π 1 (1 − π 0 )
π 0 (1 − π 1 )
que l’on appelle un odds-ratio. Pour de petites valeurs de π 1 et π 0 , l’oddsratio est très proche du quotient (ou ratio) des proportions π 1 /π 0 . Pour de
grandes valeurs de π 1 ou π 0 , les deux concepts sont cependant différents
1 .
Un odds-ratio est donc une alternative à une différence de proportion lorsqu’il s’agit de comparer deux distributions binaires. On aura notamment :
ω < 1 si Λ < 0
ω = 1 si Λ = 0
ω > 1 si Λ > 0.
Ces deux concepts ne sont cependant pas équivalents, comme nous le montre
la figure 16.1. L’axe horizontal représente ici l’ensemble des valeurs possibles
pour la proportion π 0 et l’axe vertical l’ensemble des valeurs possibles pour
la proportion π 1 . Chaque courbe sur ce graphique représente l’ensemble des
couples (π 0 , π 1 ) correspondant à un même odds-ratio (la courbe représentée
1 Un avantage de l’odds-ratio est qu’il est invariant si on échange les codes 1 et 0 des deux
valeurs possibles des variables binaires que l’on compare, alors que le ratio des proportions
ne l’est pas. Si on compare par exemple deux techniques d’opération avec respectivement
90 % et 80 % de réussites, et donc 10 % et 20 % d’échecs, le ratio des proportions sera
de 0.9/0.8 = 1.125 si on compare les réussites, et de 0.2/0.1 = 2 si on compare les échecs,
alors que le ratio des odds sera de (0.9/0.1)/(0.8/0.2) = (0.2/0.8)/(0.1/0.9) = 2.25 que l’on
compare les réussites ou que l’on compare les échecs.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Alors qu’une proportion est un nombre entre 0 et 1, un odds est un nombre
entre 0 et ∞. Les concepts d’odds et de proportion sont pourtant très proches
l’un de l’autre lorsque les valeurs sont petites.
Exemple 16.1 Lorsque l’on dit qu’il naît 105 garçons pour 100 filles, cela
veut dire que l’odds d’avoir un garçon à la naissance est de 1.05. La proportion
de garçons à la naissance (la probabilité d’avoir un garçon) est alors égale à
1.05/2.05 = 0.512. Alors que cette proportion est calculée en divisant le nombre
de garçons nés par le nombre total de naissances, l’odds correspondant est calculé en divisant le nombre de garçons nés par le nombre de filles nées. Les
deux quantités représentent toutefois la même information, qui est simplement
exprimée différemment.
Afin de comparer les distributions de deux variables binaires Y 1 et Y 0 , on a
introduit au chapitre 5 le concept de différence de proportion :
Λ = π 1 − π 0
où π 1 et π 0 dénotent les proportions de 1 pour les variables Y 1 et Y 0 . Alors que
l’on compare les proportions π 1 et π 0 via leur différence, on compare les odds
π 1 /(1 − π 1 ) et π 0 /(1 − π 0 ) via leur quotient :
ω =
π 1 /(1 − π 1 )
π 0 /(1 − π 0 )
=
π 1 (1 − π 0 )
π 0 (1 − π 1 )
que l’on appelle un odds-ratio. Pour de petites valeurs de π 1 et π 0 , l’oddsratio est très proche du quotient (ou ratio) des proportions π 1 /π 0 . Pour de
grandes valeurs de π 1 ou π 0 , les deux concepts sont cependant différents
1 .
Un odds-ratio est donc une alternative à une différence de proportion lorsqu’il s’agit de comparer deux distributions binaires. On aura notamment :
ω < 1 si Λ < 0
ω = 1 si Λ = 0
ω > 1 si Λ > 0.
Ces deux concepts ne sont cependant pas équivalents, comme nous le montre
la figure 16.1. L’axe horizontal représente ici l’ensemble des valeurs possibles
pour la proportion π 0 et l’axe vertical l’ensemble des valeurs possibles pour
la proportion π 1 . Chaque courbe sur ce graphique représente l’ensemble des
couples (π 0 , π 1 ) correspondant à un même odds-ratio (la courbe représentée
1 Un avantage de l’odds-ratio est qu’il est invariant si on échange les codes 1 et 0 des deux
valeurs possibles des variables binaires que l’on compare, alors que le ratio des proportions
ne l’est pas. Si on compare par exemple deux techniques d’opération avec respectivement
90 % et 80 % de réussites, et donc 10 % et 20 % d’échecs, le ratio des proportions sera
de 0.9/0.8 = 1.125 si on compare les réussites, et de 0.2/0.1 = 2 si on compare les échecs,
alors que le ratio des odds sera de (0.9/0.1)/(0.8/0.2) = (0.2/0.8)/(0.1/0.9) = 2.25 que l’on
compare les réussites ou que l’on compare les échecs.