274
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Pour les femmes, on a X 1 = X 3 = 0, ce qui implique :
y
∗ =
β 0 +
β 2 x 2 .
Pour les hommes, on a X 1 = 1 et X 3 = X 2 , ce qui implique :
y
∗ = (
β 0 +
β 1 ) + (
β 2 +
β 3 )x 2 .
Ce modèle de régression avec trois prédicteurs nous permet donc de décrire
la relation entre l’âge X 2 et la performance physique Y avec deux droites de
régression différentes, l’une pour les femmes et l’autre pour les hommes. On
interprète les paramètres de la façon suivante :
• β 0 et β 2 définissent la droite de régression dans le groupe (de référence)
X 1 = 0
• β 1 est la différence entre les constantes de ces deux droites de régression
• β 3 est la différence entre les pentes de ces deux droites de régression.
Les deux droites sont identiques si β 1 = β 3 = 0. Sous les hypothèses d’un modèle de régression linéaire, cela peut se tester à l’aide d’un test du F partiel.
Un test de l’hypothèse nulle H 0 : β 3 = 0 à l’aide d’un test de Student sera également d’intérêt. En effet, la nullité de β 3 dans ce modèle aura les implications
suivantes
7 :
• les deux droites de régression sont parallèles (ont une même pente)
• la relation entre X 1 et Y peut être résumée par la même différence de
moyenne β 1 quelle que soit la valeur de la variable X 2
• la relation entre X 2 et Y peut être résumée par la même pente β 2 dans
le groupes X 1 = 0 et dans le groupe X 1 = 1
• on dit alors qu’il n’y a pas d’interaction entre les prédicteurs X 1 et X 2 .
(dans le cas contraire, on aura une interaction entre X 1 et X 2 ).
La figure 15.5 nous montre des exemples d’interactions. Dans chacun de ces
graphiques, on a deux droites de régression décrivant la relation entre X 2 (sur
l’axe horizontal) et Y (sur l’axe vertical) dans les groupes X 1 = 1 (trait plein)
7 Par contre, les tests des hypothèses nulles H 0 : β 0 = 0, H 0 : β 1 = 0 ou H 0 : β 2 = 0
seront souvent d’un intérêt moindre (en présence d’une interaction). La raison à cela est que
le signe de ces paramètres (en particulier le fait qu’ils soient nuls ou non nuls) dépendra des
unités choisies pour X 1 et X 2 , et en ce sens seront arbitraires (les résultats changeront si
on mesure par exemple une température en degrés Fahrenheit plutôt qu’en degrés Celsius,
ou si on échange les codes des deux groupes définis par une variable binaire). D’une manière
générale, il est conseillé d’introduire les prédicteurs X 1 et X 2 dans un modèle de régression
contenant leur interaction X 1 · X 2 (même si X 1 et X 2 ne sont pas significatifs). De même, il
est conseillé d’introduire une constante dans un modèle de régression, sans laquelle certaines
propriétés évoquées dans les chapitres précédents ne sont plus valables (par exemple le lien
entre corrélation et pente d’une droite de régression).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Pour les femmes, on a X 1 = X 3 = 0, ce qui implique :
y
∗ =
β 0 +
β 2 x 2 .
Pour les hommes, on a X 1 = 1 et X 3 = X 2 , ce qui implique :
y
∗ = (
β 0 +
β 1 ) + (
β 2 +
β 3 )x 2 .
Ce modèle de régression avec trois prédicteurs nous permet donc de décrire
la relation entre l’âge X 2 et la performance physique Y avec deux droites de
régression différentes, l’une pour les femmes et l’autre pour les hommes. On
interprète les paramètres de la façon suivante :
• β 0 et β 2 définissent la droite de régression dans le groupe (de référence)
X 1 = 0
• β 1 est la différence entre les constantes de ces deux droites de régression
• β 3 est la différence entre les pentes de ces deux droites de régression.
Les deux droites sont identiques si β 1 = β 3 = 0. Sous les hypothèses d’un modèle de régression linéaire, cela peut se tester à l’aide d’un test du F partiel.
Un test de l’hypothèse nulle H 0 : β 3 = 0 à l’aide d’un test de Student sera également d’intérêt. En effet, la nullité de β 3 dans ce modèle aura les implications
suivantes
7 :
• les deux droites de régression sont parallèles (ont une même pente)
• la relation entre X 1 et Y peut être résumée par la même différence de
moyenne β 1 quelle que soit la valeur de la variable X 2
• la relation entre X 2 et Y peut être résumée par la même pente β 2 dans
le groupes X 1 = 0 et dans le groupe X 1 = 1
• on dit alors qu’il n’y a pas d’interaction entre les prédicteurs X 1 et X 2 .
(dans le cas contraire, on aura une interaction entre X 1 et X 2 ).
La figure 15.5 nous montre des exemples d’interactions. Dans chacun de ces
graphiques, on a deux droites de régression décrivant la relation entre X 2 (sur
l’axe horizontal) et Y (sur l’axe vertical) dans les groupes X 1 = 1 (trait plein)
7 Par contre, les tests des hypothèses nulles H 0 : β 0 = 0, H 0 : β 1 = 0 ou H 0 : β 2 = 0
seront souvent d’un intérêt moindre (en présence d’une interaction). La raison à cela est que
le signe de ces paramètres (en particulier le fait qu’ils soient nuls ou non nuls) dépendra des
unités choisies pour X 1 et X 2 , et en ce sens seront arbitraires (les résultats changeront si
on mesure par exemple une température en degrés Fahrenheit plutôt qu’en degrés Celsius,
ou si on échange les codes des deux groupes définis par une variable binaire). D’une manière
générale, il est conseillé d’introduire les prédicteurs X 1 et X 2 dans un modèle de régression
contenant leur interaction X 1 · X 2 (même si X 1 et X 2 ne sont pas significatifs). De même, il
est conseillé d’introduire une constante dans un modèle de régression, sans laquelle certaines
propriétés évoquées dans les chapitres précédents ne sont plus valables (par exemple le lien
entre corrélation et pente d’une droite de régression).