15. Régression avec prédicteurs binaires
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formation sur d’autres différences, on pourra calculer les modèles de régression
équivalents (c’est-à-dire donnant les mêmes prédictions), en dénotant par X 4
l’appartenance au groupe 4 :
y
∗ = 31.9 − 11.1x 1 − 9.4x 2 − 2.3x 4
y
∗ = 22.5 − 1.7x 1 + 9.4x 3 + 7.1x 4
ou
y
∗ = 20.9 + 1.7x 2 + 11.1x 3 + 8.8x 4 .
On retrouve en effet la même valeur de
ρ
2 et le même résultat du test F pour
chacun de ces modèles, bien que les pentes diffèrent d’un modèle à l’autre (le
groupe de référence étant différent dans chaque modèle). À l’aide de tests de
Student sur la nullité de ces pentes (et en appliquant une correction de Bonferroni), on obtient des différences significatives entre les groupes 1 et 3, 1 et 4, 2
et 3, ainsi que 2 et 4, les différences n’étant pas significatives entre les groupes
1 et 2, ni entre les groupes 3 et 4 (raison pour laquelle nous avions regroupé les
groupes 1 et 2, ainsi que les groupes 3 et 4 au chapitre 5).
15.6 Analyse de covariance
Lorsqu’un modèle de régression contient à la fois des prédicteurs binaires
(représentant éventuellement des variables qualitatives, appelées parfois des
facteurs) et des prédicteurs continus (appelées en anglais : covariates), on
parle d’analyse de covariance. Dans ces modèles, on peut également introduire
des interactions entre les différents prédicteurs.
Considérons un modèle où l’on prédit une variable continue Y (par exemple
une mesure de la performance physique) à partir des trois prédicteurs suivants :
• une variable binaire X 1 (par exemple le sexe, avec X 1 = 1 pour les
hommes et X 1 = 0 pour les femmes)
• une variable continue X 2 (par exemple l’âge)
• une interaction X 3 = X 1 · X 2 (obtenue par multiplication des deux premiers prédicteurs).
La variable X 3 est ainsi définie de telle sorte que :
X 3 = X 2 si X 1 = 1
X 3 = 0 si X 1 = 0
Dans notre exemple, X 3 représente donc l’âge de l’individu s’il s’agit d’un
homme et la valeur 0 s’il s’agit d’une femme. L’équation de notre hyperplan de
régression est donnée comme d’habitude par :
y
∗ =
β 0 +
β 1 x 1 +
β 2 x 2 +
β 3 x 3 .
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formation sur d’autres différences, on pourra calculer les modèles de régression
équivalents (c’est-à-dire donnant les mêmes prédictions), en dénotant par X 4
l’appartenance au groupe 4 :
y
∗ = 31.9 − 11.1x 1 − 9.4x 2 − 2.3x 4
y
∗ = 22.5 − 1.7x 1 + 9.4x 3 + 7.1x 4
ou
y
∗ = 20.9 + 1.7x 2 + 11.1x 3 + 8.8x 4 .
On retrouve en effet la même valeur de
ρ
2 et le même résultat du test F pour
chacun de ces modèles, bien que les pentes diffèrent d’un modèle à l’autre (le
groupe de référence étant différent dans chaque modèle). À l’aide de tests de
Student sur la nullité de ces pentes (et en appliquant une correction de Bonferroni), on obtient des différences significatives entre les groupes 1 et 3, 1 et 4, 2
et 3, ainsi que 2 et 4, les différences n’étant pas significatives entre les groupes
1 et 2, ni entre les groupes 3 et 4 (raison pour laquelle nous avions regroupé les
groupes 1 et 2, ainsi que les groupes 3 et 4 au chapitre 5).
15.6 Analyse de covariance
Lorsqu’un modèle de régression contient à la fois des prédicteurs binaires
(représentant éventuellement des variables qualitatives, appelées parfois des
facteurs) et des prédicteurs continus (appelées en anglais : covariates), on
parle d’analyse de covariance. Dans ces modèles, on peut également introduire
des interactions entre les différents prédicteurs.
Considérons un modèle où l’on prédit une variable continue Y (par exemple
une mesure de la performance physique) à partir des trois prédicteurs suivants :
• une variable binaire X 1 (par exemple le sexe, avec X 1 = 1 pour les
hommes et X 1 = 0 pour les femmes)
• une variable continue X 2 (par exemple l’âge)
• une interaction X 3 = X 1 · X 2 (obtenue par multiplication des deux premiers prédicteurs).
La variable X 3 est ainsi définie de telle sorte que :
X 3 = X 2 si X 1 = 1
X 3 = 0 si X 1 = 0
Dans notre exemple, X 3 représente donc l’âge de l’individu s’il s’agit d’un
homme et la valeur 0 s’il s’agit d’une femme. L’équation de notre hyperplan de
régression est donnée comme d’habitude par :
y
∗ =
β 0 +
β 1 x 1 +
β 2 x 2 +
β 3 x 3 .