15. Régression avec prédicteurs binaires
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0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
15
20
25
30
35
40
45
nutrition (faible/élevée)
hauteur d'un Onobrychis (cm)
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Figure 15.1 – Relation entre variable réponse continue et prédicteur binaire.
Exemple 15.1 On reprend l’exemple du chapitre 5 où l’on comparait la hauteur des Onobrychis cultivés avec différents niveaux nutritifs. On avait estimé
une hauteur moyenne de
μ 1 = 30.8 cm dans le groupe de n 1 = 60 Onobrychis cultivés avec niveau nutritif élevé et de
μ 0 = 21.7 cm dans le groupe de
n 0 = 60 Onobrychis cultivés avec niveau nutritif faible, et ainsi une différence
de moyenne de
Δ = 9.1 cm. On avait par ailleurs estimé une variance commune de ˜
σ
2 = 18.1 cm
2 . Le graphique habituel pour montrer ces données est
un boxplot (voir la figure 5.2). En notant par Y la hauteur d’un Onobrychis et
par X le niveau nutritif (où X = 1 désigne un niveau nutritif élevé et X = 0
un niveau nutritif faible), on peut également représenter ces données avec un
diagramme de dispersion, comme celui de la figure 15.1. On y voit la droite
de régression qui passe par les moyennes des deux groupes représentées par les
deux points noirs sur ce graphique. L’hypothèse de linéarité est ici forcément
satisfaite. Les autres hypothèses (homoscédasticité, normalité) semblent raisonnables sur ce graphique. L’équation de la droite de régression est la suivante :
y
∗ = 21.7 + 9.1x.
On retrouve la moyenne du groupe X = 0 dans le rôle de la constante et la
différence de moyenne entre les deux groupes dans le rôle de la pente de la droite
de régression (on a
β 0 =
μ 0 et
β 1 =
Δ). Par ailleurs, la variance résiduelle
est estimée par ˜
σ
2
ε = 18.1, ce qui correspond à la variance commune estimée