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Statistique appliquée aux sciences de la vie
• pour la constante : β 0 = mean(Y |X = 0)
→ la constante est la moyenne de Y dans le groupe (de référence) X = 0
• pour la pente : β 1 = mean(Y |X = 1) − mean(Y |X = 0)
→ la pente est la différence de moyenne de Y entre les deux groupes.
Un modèle de régression linéaire est donc ici constitué uniquement de trois
hypothèses :
• on suppose que la variance de Y est la même dans les deux groupes
(homoscédasticité)
• on suppose que la distribution de Y est normale dans les deux groupes
• on suppose que les observations sont indépendantes.
On retrouve ainsi les mêmes hypothèses que celles faites dans le cadre du modèle
idéal introduit au chapitre 5.
Le modèle idéal (comparaison de deux distributions normales et
de même variance) est un cas particulier de modèle de régression linéaire.
De même, les tests et intervalles de confiance de Student pour une différence de
moyenne sont équivalents à des tests et intervalles de confiance de Student pour
la pente d’une droite de régression avec prédicteur binaire. En effet, la droite de
régression
β 1 introduite ci-dessus est égale à la différence de moyenne empirique
Δ entre les deux groupes, alors que l’estimateur de l’écart type résiduel ˜
σ ε de
cette régression correspond à l’estimateur de l’écart type commun ˜
σ dans les
deux groupes. Si n 1 et n 0 dénotent les tailles des groupes avec respectivement
X = 1 et X = 0, on a ¯
x = n 1 /(n 1 + n 0 ), ce qui implique :
i
(x i − ¯
x)
2 = n 1 ·
1 −
n 1
n 1 + n 0
2
+ n 0 ·
0 −
n 1
n 1 + n 0
2
=
n 1 n 0
n 1 + n 0
.
On teste ainsi la nullité de la pente de la droite de régression (H 0 : β 1 = 0) en
calculant la statistique de test
t stat =
β 1
˜
σε
√ P
i (xi−¯ x) 2
=
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Δ
˜
σ
qui est effectivement la même statistique de test que celle utilisée dans un test
de Student pour tester la nullité de la différence de moyenne entre les deux
groupes (H 0 : Δ = 0). La distribution de la statistique de test sous H 0 est
également dans les deux cas une distribution de Student avec n 1 + n 0 − 2 dl.
Une illustration de cette analogie est donnée dans l’exemple suivant.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
• pour la constante : β 0 = mean(Y |X = 0)
→ la constante est la moyenne de Y dans le groupe (de référence) X = 0
• pour la pente : β 1 = mean(Y |X = 1) − mean(Y |X = 0)
→ la pente est la différence de moyenne de Y entre les deux groupes.
Un modèle de régression linéaire est donc ici constitué uniquement de trois
hypothèses :
• on suppose que la variance de Y est la même dans les deux groupes
(homoscédasticité)
• on suppose que la distribution de Y est normale dans les deux groupes
• on suppose que les observations sont indépendantes.
On retrouve ainsi les mêmes hypothèses que celles faites dans le cadre du modèle
idéal introduit au chapitre 5.
Le modèle idéal (comparaison de deux distributions normales et
de même variance) est un cas particulier de modèle de régression linéaire.
De même, les tests et intervalles de confiance de Student pour une différence de
moyenne sont équivalents à des tests et intervalles de confiance de Student pour
la pente d’une droite de régression avec prédicteur binaire. En effet, la droite de
régression
β 1 introduite ci-dessus est égale à la différence de moyenne empirique
Δ entre les deux groupes, alors que l’estimateur de l’écart type résiduel ˜
σ ε de
cette régression correspond à l’estimateur de l’écart type commun ˜
σ dans les
deux groupes. Si n 1 et n 0 dénotent les tailles des groupes avec respectivement
X = 1 et X = 0, on a ¯
x = n 1 /(n 1 + n 0 ), ce qui implique :
i
(x i − ¯
x)
2 = n 1 ·
1 −
n 1
n 1 + n 0
2
+ n 0 ·
0 −
n 1
n 1 + n 0
2
=
n 1 n 0
n 1 + n 0
.
On teste ainsi la nullité de la pente de la droite de régression (H 0 : β 1 = 0) en
calculant la statistique de test
t stat =
β 1
˜
σε
√ P
i (xi−¯ x) 2
=
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Δ
˜
σ
qui est effectivement la même statistique de test que celle utilisée dans un test
de Student pour tester la nullité de la différence de moyenne entre les deux
groupes (H 0 : Δ = 0). La distribution de la statistique de test sous H 0 est
également dans les deux cas une distribution de Student avec n 1 + n 0 − 2 dl.
Une illustration de cette analogie est donnée dans l’exemple suivant.