14. Régression linéaire multiple
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la perte de cholestérol ne sont dans l’ensemble pas complètement inutiles pour
prédire la perte de poids. Les résultats des tests de Student nous disent que l’on
n’a pas réussi à prouver statistiquement que l’introduction de l’un de ces prédicteurs dans le modèle nous permet d’améliorer la prédiction sachant que l’autre
prédicteur est déjà dans le modèle. Autrement dit, on a prouvé statistiquement
une association entre ces prédicteurs et la réponse, mais on ne peut pas exclure
que ces deux prédicteurs soient redondants (un seul suffirait). En fait, si notre
critère était la qualité de la prédiction, on choisirait le modèle avec la perte de
cholestérol comme unique prédicteur (comme on va le voir un peu plus loin).
14.12 Intervalle de prédiction
Sous les hypothèses d’un modèle de régression linéaire, on pourra non seulement effectuer des prédictions ponctuelles mais également calculer des intervalles de prédiction, comme on l’a fait en régression simple. Dans ce cas, on
ne se contente donc pas de prédire la valeur Y d’un individu dont on connaît
les caractéritiques x 1 , x 2 , · · · , x m par rapport aux prédicteurs X 1 , X 2 , · · · , X m ,
mais on calcule un intervalle de prédiction qui contiendra cette valeur Y avec
une probabilité de (approximativement) 0.95 de la manière suivante :
β 0 +
β 1 x 1 +
β 2 x 2 + · · · +
β m x m ± 2˜ σ ε .
Comme en régression simple, on peut quantifier par :
P IR = 1 −
σ ε
σ Y
= 1 −
1 − ρ 2
la réduction de la longueur de l’intervalle de prédiction obtenue grâce à notre
modèle de régression (en comparaison avec un intervalle de prédiction calculé
sans ce modèle de régression).
Exemple 14.14 On reprend l’exemple de la prédiction de la graisse corporelle.
Dans une section précédente, pour une personne pesant 80 kg, âgée de 40 ans,
mesurant 175 cm, avec un abdomen de 115 cm, un biceps de 30 cm et un
poignet de 19 cm, on avait prédit (en utilisant notre équation de régression) un
pourcentage de graisse corporelle de :
−13.3 − 0.12 · 80 + 0.046 · 40 − 0.077 · 175 + 0.84 · 115 + 0.23 · 30 − 1.73 · 19 = 36.1.
En rappelant que l’on avait estimé la variance résiduelle par ˜
σ
2
ε = 18.2, on peut
alors calculer l’intervalle de prédiction suivant :
36.1 ± 2
√
18.2 = [27.6; 44.6].
Sous les hypothèses du modèle, le pourcentage de graisse corporelle de cet individu sera donc avec une probabilité de 0.95 entre 27.6 % et 44.6 %.
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la perte de cholestérol ne sont dans l’ensemble pas complètement inutiles pour
prédire la perte de poids. Les résultats des tests de Student nous disent que l’on
n’a pas réussi à prouver statistiquement que l’introduction de l’un de ces prédicteurs dans le modèle nous permet d’améliorer la prédiction sachant que l’autre
prédicteur est déjà dans le modèle. Autrement dit, on a prouvé statistiquement
une association entre ces prédicteurs et la réponse, mais on ne peut pas exclure
que ces deux prédicteurs soient redondants (un seul suffirait). En fait, si notre
critère était la qualité de la prédiction, on choisirait le modèle avec la perte de
cholestérol comme unique prédicteur (comme on va le voir un peu plus loin).
14.12 Intervalle de prédiction
Sous les hypothèses d’un modèle de régression linéaire, on pourra non seulement effectuer des prédictions ponctuelles mais également calculer des intervalles de prédiction, comme on l’a fait en régression simple. Dans ce cas, on
ne se contente donc pas de prédire la valeur Y d’un individu dont on connaît
les caractéritiques x 1 , x 2 , · · · , x m par rapport aux prédicteurs X 1 , X 2 , · · · , X m ,
mais on calcule un intervalle de prédiction qui contiendra cette valeur Y avec
une probabilité de (approximativement) 0.95 de la manière suivante :
β 0 +
β 1 x 1 +
β 2 x 2 + · · · +
β m x m ± 2˜ σ ε .
Comme en régression simple, on peut quantifier par :
P IR = 1 −
σ ε
σ Y
= 1 −
1 − ρ 2
la réduction de la longueur de l’intervalle de prédiction obtenue grâce à notre
modèle de régression (en comparaison avec un intervalle de prédiction calculé
sans ce modèle de régression).
Exemple 14.14 On reprend l’exemple de la prédiction de la graisse corporelle.
Dans une section précédente, pour une personne pesant 80 kg, âgée de 40 ans,
mesurant 175 cm, avec un abdomen de 115 cm, un biceps de 30 cm et un
poignet de 19 cm, on avait prédit (en utilisant notre équation de régression) un
pourcentage de graisse corporelle de :
−13.3 − 0.12 · 80 + 0.046 · 40 − 0.077 · 175 + 0.84 · 115 + 0.23 · 30 − 1.73 · 19 = 36.1.
En rappelant que l’on avait estimé la variance résiduelle par ˜
σ
2
ε = 18.2, on peut
alors calculer l’intervalle de prédiction suivant :
36.1 ± 2
√
18.2 = [27.6; 44.6].
Sous les hypothèses du modèle, le pourcentage de graisse corporelle de cet individu sera donc avec une probabilité de 0.95 entre 27.6 % et 44.6 %.