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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Si on devait prédire la graisse corporelle d’un individu sans connaître ses
caractéristiques ci-dessus, c’est-à-dire sans utiliser ce modèle de régression, on
utiliserait des estimations de la moyenne et de la variance de cette variable,
avec dans notre cas
μ Y = 18.9 et ˜
σ
2
Y = 65.1. En supposant la normalité de Y ,
on calculerait l’intervalle de prédiction suivant :
18.9 ± 2
√
65.1 = [2.8; 35.0]
qui est plus large que le premier. La réduction de la longueur de l’intervalle
de prédiction obtenue grâce à notre modèle de régression correspond à un P IR
estimé de 1 −
18.2/65.1 = 0.47. On aura ainsi réussi à diminuer de 47 %
(c’est-à-dire pratiquement d’un facteur 2) la longueur de l’intervalle de prédiction.
Les bornes inférieure et supérieure d’un intervalle de prédiction au niveau
95 % sont en fait des estimations des quantiles 2.5 % et 97.5 % de la variable
réponse Y pour une certaine combinaison de valeurs possibles des prédicteurs.
Plus généralement, on pourra grâce à notre modèle de régression linéaire estimer
n’importe quel quantile de cette distribution. On s’intéressera à ces quantiles
lorsqu’il s’agira d’établir des normes d’une variable Y en fonction d’autres
variables (les prédicteurs), comme illustré dans l’exemple suivant.
Exemple 14.15 On revient sur notre exemple de motricité où il s’agissait de
modéliser le temps Y nécessaire pour accomplir un exercice en fonction de l’âge
X 1 à partir d’un échantillon de n = 593 enfants et adolescents. On avait logtransformé la variable Y , modélisant ainsi Z = log(Y ), et on avait considéré
un modèle quadratique, obtenant :
z
∗ = 3.745 − 0.239x 1 + 0.00706x
2
1 .
On estime par ailleurs pour ce modèle une variance résiduelle de ˜
σ
2
ε = 0.0676.
On peut ainsi estimer le quantile q% de la variable Z = log Y à un âge x 1 (en
log secondes) par :
3.745 − 0.239x 1 + 0.00706x 1 + z q/100 ·
√
0.0676.
À partir de là, on peut estimer le quantile q% de la variable originale Y à un
âge x 1 (en secondes) par
25 :
exp(3.745 − 0.239x 1 + 0.00706x 1 + z q/100 ·
√
0.0676).
On estime par exemple les quantiles 2.5 %, 10 %, 25 %, 50 %, 75 %, 90 % et
25 On utilise ici le fait que quantile(log(Y )) = log(quantile(Y )), ce qui implique
exp(quantile(log(Y ))) = quantile(Y ).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Si on devait prédire la graisse corporelle d’un individu sans connaître ses
caractéristiques ci-dessus, c’est-à-dire sans utiliser ce modèle de régression, on
utiliserait des estimations de la moyenne et de la variance de cette variable,
avec dans notre cas
μ Y = 18.9 et ˜
σ
2
Y = 65.1. En supposant la normalité de Y ,
on calculerait l’intervalle de prédiction suivant :
18.9 ± 2
√
65.1 = [2.8; 35.0]
qui est plus large que le premier. La réduction de la longueur de l’intervalle
de prédiction obtenue grâce à notre modèle de régression correspond à un P IR
estimé de 1 −
18.2/65.1 = 0.47. On aura ainsi réussi à diminuer de 47 %
(c’est-à-dire pratiquement d’un facteur 2) la longueur de l’intervalle de prédiction.
Les bornes inférieure et supérieure d’un intervalle de prédiction au niveau
95 % sont en fait des estimations des quantiles 2.5 % et 97.5 % de la variable
réponse Y pour une certaine combinaison de valeurs possibles des prédicteurs.
Plus généralement, on pourra grâce à notre modèle de régression linéaire estimer
n’importe quel quantile de cette distribution. On s’intéressera à ces quantiles
lorsqu’il s’agira d’établir des normes d’une variable Y en fonction d’autres
variables (les prédicteurs), comme illustré dans l’exemple suivant.
Exemple 14.15 On revient sur notre exemple de motricité où il s’agissait de
modéliser le temps Y nécessaire pour accomplir un exercice en fonction de l’âge
X 1 à partir d’un échantillon de n = 593 enfants et adolescents. On avait logtransformé la variable Y , modélisant ainsi Z = log(Y ), et on avait considéré
un modèle quadratique, obtenant :
z
∗ = 3.745 − 0.239x 1 + 0.00706x
2
1 .
On estime par ailleurs pour ce modèle une variance résiduelle de ˜
σ
2
ε = 0.0676.
On peut ainsi estimer le quantile q% de la variable Z = log Y à un âge x 1 (en
log secondes) par :
3.745 − 0.239x 1 + 0.00706x 1 + z q/100 ·
√
0.0676.
À partir de là, on peut estimer le quantile q% de la variable originale Y à un
âge x 1 (en secondes) par
25 :
exp(3.745 − 0.239x 1 + 0.00706x 1 + z q/100 ·
√
0.0676).
On estime par exemple les quantiles 2.5 %, 10 %, 25 %, 50 %, 75 %, 90 % et
25 On utilise ici le fait que quantile(log(Y )) = log(quantile(Y )), ce qui implique
exp(quantile(log(Y ))) = quantile(Y ).