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Statistique appliquée aux sciences de la vie
d’obtenir une observation dans un intervalle de ce continuum est égale à l’aire
sous la courbe dans cet intervalle. Si la distribution d’une variable continue Y
est définie par une densité de probabilité f (y), et si a et b sont deux valeurs
possibles de Y , la probabilité d’obtenir une observation entre a et b sera donc :
Pr {a ≤ Y ≤ b} =
b
a
f (y) dy.
En particulier, on aura
∞
−∞
f (y) dy = 1. Par ailleurs, la probabilité d’obtenir
une observation plus petite ou égale à une valeur a est appelée la fonction de
répartition de la variable Y . On notera cette probabilité comme suit :
F (a) = Pr {Y ≤ a} =
a
−∞
f (y) dy.
Un fonction de répartition F (y) est donc une fonction croissante (de 0 pour de
petites valeurs de y, vers 1 pour de grandes valeurs), dont la dérivée est égale
à la densité de probabilité (on a ainsi F
(y) = f (y)). On retrouvera le concept
de fonction de répartition notamment au chapitre 10 dans le contexte du calcul
de la puissance d’un test statistique
2 .
Si on connaissait la densité de probabilité de la hauteur des Onobrychis
après six mois, il serait alors possible de calculer la probabilité d’obtenir un
Onobrychis entre 14 et 15 cm ou entre 15 et 16 cm. La figure 2.5 nous illustre
quelques exemples de calcul de probabilités à partir d’une densité normale. Notons que la probabilité théorique d’obtenir exactement une valeur donnée est
nulle. De la même manière que l’on ne verra jamais deux Onobrychis mesurant exactement la même hauteur, on ne verra jamais un Onobrychis mesurant
exactement 15 cm. Par contre, la probabilité d’obtenir un Onobrychis mesurant
entre 14.9 et 15.1 cm sera certes petite, mais non nulle.
Deux caractéristiques importantes d’une distribution normale sont la symétrie de la densité et le fait que cette fonction tende rapidement vers zéro
lorsqu’on s’éloigne du centre de symétrie, comme le montre le graphique (a) de
la figure 2.4. En ce sens, on observera peu de valeurs extrêmes pour une variable normale. Une troisième caractéristique de la normalité est l’unimodalité,
c’est-à-dire le fait que la densité n’admette qu’un seul mode, ou maximum.
La figure 2.4 nous montre cinq exemples de distributions continues non
normales. Le graphique (b) nous montre une densité avec plus de valeurs extrêmes qu’une densité normale (représentée en arrière-plan par un trait fin sur
ce graphique). Le graphique (c) nous montre une densité uniforme, pour laquelle l’ensemble des valeurs possibles est borné, et où la probabilité d’obtenir
2 Le concept de fonction de répartition est une alternative au concept de densité de probabilité pour définir la distribution d’une variable continue. Comme une égalité n’est en principe
pas possible pour une variable continue, on pourrait remplacer l’inégalité large « ≤ » par une
inégalité stricte « < » sans modifier le sens de cette définition. Cependant, une fonction de
répartition (au contraire d’une densité de probabilité) peut également être définie pour une
variable quantitative discrète, auquel cas l’inégalité large doit être conservée.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
d’obtenir une observation dans un intervalle de ce continuum est égale à l’aire
sous la courbe dans cet intervalle. Si la distribution d’une variable continue Y
est définie par une densité de probabilité f (y), et si a et b sont deux valeurs
possibles de Y , la probabilité d’obtenir une observation entre a et b sera donc :
Pr {a ≤ Y ≤ b} =
b
a
f (y) dy.
En particulier, on aura
∞
−∞
f (y) dy = 1. Par ailleurs, la probabilité d’obtenir
une observation plus petite ou égale à une valeur a est appelée la fonction de
répartition de la variable Y . On notera cette probabilité comme suit :
F (a) = Pr {Y ≤ a} =
a
−∞
f (y) dy.
Un fonction de répartition F (y) est donc une fonction croissante (de 0 pour de
petites valeurs de y, vers 1 pour de grandes valeurs), dont la dérivée est égale
à la densité de probabilité (on a ainsi F
(y) = f (y)). On retrouvera le concept
de fonction de répartition notamment au chapitre 10 dans le contexte du calcul
de la puissance d’un test statistique
2 .
Si on connaissait la densité de probabilité de la hauteur des Onobrychis
après six mois, il serait alors possible de calculer la probabilité d’obtenir un
Onobrychis entre 14 et 15 cm ou entre 15 et 16 cm. La figure 2.5 nous illustre
quelques exemples de calcul de probabilités à partir d’une densité normale. Notons que la probabilité théorique d’obtenir exactement une valeur donnée est
nulle. De la même manière que l’on ne verra jamais deux Onobrychis mesurant exactement la même hauteur, on ne verra jamais un Onobrychis mesurant
exactement 15 cm. Par contre, la probabilité d’obtenir un Onobrychis mesurant
entre 14.9 et 15.1 cm sera certes petite, mais non nulle.
Deux caractéristiques importantes d’une distribution normale sont la symétrie de la densité et le fait que cette fonction tende rapidement vers zéro
lorsqu’on s’éloigne du centre de symétrie, comme le montre le graphique (a) de
la figure 2.4. En ce sens, on observera peu de valeurs extrêmes pour une variable normale. Une troisième caractéristique de la normalité est l’unimodalité,
c’est-à-dire le fait que la densité n’admette qu’un seul mode, ou maximum.
La figure 2.4 nous montre cinq exemples de distributions continues non
normales. Le graphique (b) nous montre une densité avec plus de valeurs extrêmes qu’une densité normale (représentée en arrière-plan par un trait fin sur
ce graphique). Le graphique (c) nous montre une densité uniforme, pour laquelle l’ensemble des valeurs possibles est borné, et où la probabilité d’obtenir
2 Le concept de fonction de répartition est une alternative au concept de densité de probabilité pour définir la distribution d’une variable continue. Comme une égalité n’est en principe
pas possible pour une variable continue, on pourrait remplacer l’inégalité large « ≤ » par une
inégalité stricte « < » sans modifier le sens de cette définition. Cependant, une fonction de
répartition (au contraire d’une densité de probabilité) peut également être définie pour une
variable quantitative discrète, auquel cas l’inégalité large doit être conservée.