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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Exemple 14.2 Nous reprenons les données de l’exemple précédent avec cette
fois-ci (en conservant les mêmes notations pour les différentes variables) le
poids X 1 comme variable réponse et avec les trois prédicteurs suivants : l’âge
X 2 , la taille X 3 et l’abdomen X 4 . On considère tout d’abord un exemple de
régression simple (qui est un cas particulier de régression multiple), avec comme
unique prédicteur l’âge. On obtient la droite de régression :
x
∗
1 = 81.5 − 0.02x 2 .
Notons qu’un test de Student sur la pente nous donne ici p = 0.78, de sorte que
l’on ne peut pas exclure l’hypothèse que la relation entre l’âge et le poids est
globalement nulle (le diagramme de dispersion correspondant de la figure 14.1
ne nous montre par ailleurs aucune relation évidente entre les variables).
Ce résultat peut apparaître à première vue surprenant si on pense que les
gens ont tendance à prendre du poids avec les années. En fait, la relation entre
l’âge et le poids est ici confondue par une variable que l’on appellera « génération ». En effet, les jeunes de notre échantillon ont vécu à une autre époque
que les moins jeunes. Or, il est établi que les nouvelles générations sont plus
grandes en taille que les anciennes (grâce à une meilleure nutrition et à de
meilleures conditions de vie en général). Comme le poids et la taille sont positivement corrélés (voir la figure 14.1), les jeunes seront donc à la base plus
lourds que les moins jeunes, ce qui compensera les kilos pris par ces derniers
au cours des années, d’où l’association quasiment nulle observée entre l’âge et
le poids.
Considérons à présent une régression multiple avec deux prédicteurs : l’âge
et la taille. On obtient le plan de régression :
x
∗
1 = −115.7 + 0.12x 2 + 1.07x 3 .
Ici, le coefficient de l’âge est positif (et il est également significatif, p = 0.02).
En comparant jeunes et moins jeunes à taille égale, on ne tient plus compte de
l’influence confondante de la génération et on trouve ainsi le résultat attendu,
à savoir que les jeunes sont moins lourds que les moins jeunes (avec une différence moyenne estimée à 0.12 kg par année, c’est-à-dire 1.2 kg pour 10 ans).
Ce résultat est à présent compatible avec l’hypothèse que les gens prennent du
poids avec les années (on notera par ailleurs que la relation bien connue entre
la taille et le poids est ici confirmée et quantifiée : en comparant à âge égal, on
estime une différence moyenne de poids de 1.07 kg par cm de taille).
Considérons finalement une régression multiple avec comme trois prédicteurs l’âge, la taille et l’abdomen. On obtient l’hyperplan de régression :
x
∗
1 = −112.5 − 0.14x 2 + 0.59x 3 + 1.01x 4 .
Le signe du coefficient de l’âge a encore changé : il est devenu négatif (et la
valeur p a encore diminué, avec p < 0.0001). Cela veut dire que si on compare
non seulement à taille égale, mais également à abdomen égal, les jeunes sont
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Exemple 14.2 Nous reprenons les données de l’exemple précédent avec cette
fois-ci (en conservant les mêmes notations pour les différentes variables) le
poids X 1 comme variable réponse et avec les trois prédicteurs suivants : l’âge
X 2 , la taille X 3 et l’abdomen X 4 . On considère tout d’abord un exemple de
régression simple (qui est un cas particulier de régression multiple), avec comme
unique prédicteur l’âge. On obtient la droite de régression :
x
∗
1 = 81.5 − 0.02x 2 .
Notons qu’un test de Student sur la pente nous donne ici p = 0.78, de sorte que
l’on ne peut pas exclure l’hypothèse que la relation entre l’âge et le poids est
globalement nulle (le diagramme de dispersion correspondant de la figure 14.1
ne nous montre par ailleurs aucune relation évidente entre les variables).
Ce résultat peut apparaître à première vue surprenant si on pense que les
gens ont tendance à prendre du poids avec les années. En fait, la relation entre
l’âge et le poids est ici confondue par une variable que l’on appellera « génération ». En effet, les jeunes de notre échantillon ont vécu à une autre époque
que les moins jeunes. Or, il est établi que les nouvelles générations sont plus
grandes en taille que les anciennes (grâce à une meilleure nutrition et à de
meilleures conditions de vie en général). Comme le poids et la taille sont positivement corrélés (voir la figure 14.1), les jeunes seront donc à la base plus
lourds que les moins jeunes, ce qui compensera les kilos pris par ces derniers
au cours des années, d’où l’association quasiment nulle observée entre l’âge et
le poids.
Considérons à présent une régression multiple avec deux prédicteurs : l’âge
et la taille. On obtient le plan de régression :
x
∗
1 = −115.7 + 0.12x 2 + 1.07x 3 .
Ici, le coefficient de l’âge est positif (et il est également significatif, p = 0.02).
En comparant jeunes et moins jeunes à taille égale, on ne tient plus compte de
l’influence confondante de la génération et on trouve ainsi le résultat attendu,
à savoir que les jeunes sont moins lourds que les moins jeunes (avec une différence moyenne estimée à 0.12 kg par année, c’est-à-dire 1.2 kg pour 10 ans).
Ce résultat est à présent compatible avec l’hypothèse que les gens prennent du
poids avec les années (on notera par ailleurs que la relation bien connue entre
la taille et le poids est ici confirmée et quantifiée : en comparant à âge égal, on
estime une différence moyenne de poids de 1.07 kg par cm de taille).
Considérons finalement une régression multiple avec comme trois prédicteurs l’âge, la taille et l’abdomen. On obtient l’hyperplan de régression :
x
∗
1 = −112.5 − 0.14x 2 + 0.59x 3 + 1.01x 4 .
Le signe du coefficient de l’âge a encore changé : il est devenu négatif (et la
valeur p a encore diminué, avec p < 0.0001). Cela veut dire que si on compare
non seulement à taille égale, mais également à abdomen égal, les jeunes sont