14. Régression linéaire multiple
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plus lourds que les moins jeunes (avec une différence moyenne estimée à −0.14
kg par année, c’est-à-dire −1.4 kg pour 10 ans). Notre interprétation de ce
résultat est la suivante. Il y a essentiellement deux façons de prendre du poids :
soit via une augmentation de graisse (que l’on retrouvera surtout au niveau de
l’abdomen), soit via une augmentation de muscle. La prise de poids au cours du
vieillissement concerne l’augmentation de graisse. Or, en comparant à abdomen
égal, on ne tient plus compte de cette augmentation de graisse, de sorte que la
différence de poids se décide au niveau du muscle. Le coefficient négatif de
l’âge dans cette équation est donc compatible avec un autre résultat attendu :
les jeunes ont plus de muscle que les moins jeunes.
Notons que la constante n’est interprétable dans aucun de ces exemples (il
n’existe pas de personnes adultes âgées de 0 ans, mesurant 0 cm et avec un
abdomen de 0 cm), mais qu’elle est indispensable dans ces équations lorsqu’il
s’agit de calculer des prédictions.
Dans cet exemple, on constate que l’introduction de nouveaux prédicteurs
dans une équation de régression modifie la valeur et donc l’interprétation des
coefficients des prédicteurs déjà présents dans l’équation. Cela sera toujours le
cas, sauf si le nouveau prédicteur se trouve être non corrélé avec les prédicteurs
déjà dans l’équation, auquel cas les coefficients de ces derniers ne seront pas
modifiés. On retrouvera ce résultat au chapitre 15 lorsque l’on parlera d’essais
cliniques
4 .
L’introduction d’un nouveau prédicteur dans l’équation de régression
modifie les coefficients des prédicteurs déjà dans l’équation,
sauf si ces prédicteurs sont non corrélés avec le nouveau prédicteur.
Exemple 14.3 Nous reprenons les données de l’exemple ci-dessus avec comme
variable réponse Y la graisse corporelle et avec deux prédicteurs : X 1 le poids
4 On citera également le résultat suivant. Considérons une équation de régression simple
avec une variable réponse Y et un prédicteur X 1 , donnée par :
b
y
∗ = b
β 0 + b
β 1 x 1 .
Si on introduit un second prédicteur X 2 dans cette équation, on aura :
b
y
∗ = b
β
0 + b
β
1 x 1 + b
β
2 x 2
où les coefficients b
β
0 et b
β
1 seront en général différents de b
β 0 et b
β 1 . En particulier, on aura :
b
β
1 =
b
β 1 − b
ρ X 1 X 2 · b
ρ Y X 2 ·
˜
σ Y
˜
σ X 1
1 − b
ρ 2
X 1 X 2
où b
ρ X 1 X 2 et b
ρ Y X 2 dénotent les corrélations estimées entre X 1 et X 2 , respectivement entre
Y et X 2 , et ˜
σ X 1 et ˜
σ Y dénotent les écarts types estimés de X 1 et Y . Avec b
ρ X 1 X 2 = 0, on
aura en effet b
β
1 = b
β 1 , comme mentionné ci-dessus.
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plus lourds que les moins jeunes (avec une différence moyenne estimée à −0.14
kg par année, c’est-à-dire −1.4 kg pour 10 ans). Notre interprétation de ce
résultat est la suivante. Il y a essentiellement deux façons de prendre du poids :
soit via une augmentation de graisse (que l’on retrouvera surtout au niveau de
l’abdomen), soit via une augmentation de muscle. La prise de poids au cours du
vieillissement concerne l’augmentation de graisse. Or, en comparant à abdomen
égal, on ne tient plus compte de cette augmentation de graisse, de sorte que la
différence de poids se décide au niveau du muscle. Le coefficient négatif de
l’âge dans cette équation est donc compatible avec un autre résultat attendu :
les jeunes ont plus de muscle que les moins jeunes.
Notons que la constante n’est interprétable dans aucun de ces exemples (il
n’existe pas de personnes adultes âgées de 0 ans, mesurant 0 cm et avec un
abdomen de 0 cm), mais qu’elle est indispensable dans ces équations lorsqu’il
s’agit de calculer des prédictions.
Dans cet exemple, on constate que l’introduction de nouveaux prédicteurs
dans une équation de régression modifie la valeur et donc l’interprétation des
coefficients des prédicteurs déjà présents dans l’équation. Cela sera toujours le
cas, sauf si le nouveau prédicteur se trouve être non corrélé avec les prédicteurs
déjà dans l’équation, auquel cas les coefficients de ces derniers ne seront pas
modifiés. On retrouvera ce résultat au chapitre 15 lorsque l’on parlera d’essais
cliniques
4 .
L’introduction d’un nouveau prédicteur dans l’équation de régression
modifie les coefficients des prédicteurs déjà dans l’équation,
sauf si ces prédicteurs sont non corrélés avec le nouveau prédicteur.
Exemple 14.3 Nous reprenons les données de l’exemple ci-dessus avec comme
variable réponse Y la graisse corporelle et avec deux prédicteurs : X 1 le poids
4 On citera également le résultat suivant. Considérons une équation de régression simple
avec une variable réponse Y et un prédicteur X 1 , donnée par :
b
y
∗ = b
β 0 + b
β 1 x 1 .
Si on introduit un second prédicteur X 2 dans cette équation, on aura :
b
y
∗ = b
β
0 + b
β
1 x 1 + b
β
2 x 2
où les coefficients b
β
0 et b
β
1 seront en général différents de b
β 0 et b
β 1 . En particulier, on aura :
b
β
1 =
b
β 1 − b
ρ X 1 X 2 · b
ρ Y X 2 ·
˜
σ Y
˜
σ X 1
1 − b
ρ 2
X 1 X 2
où b
ρ X 1 X 2 et b
ρ Y X 2 dénotent les corrélations estimées entre X 1 et X 2 , respectivement entre
Y et X 2 , et ˜
σ X 1 et ˜
σ Y dénotent les écarts types estimés de X 1 et Y . Avec b
ρ X 1 X 2 = 0, on
aura en effet b
β
1 = b
β 1 , comme mentionné ci-dessus.