14. Régression linéaire multiple
225
• pour la constante, on a :
β 0 = mean(Y |X 1 = 0, X 2 = 0, · · · , X m = 0)
→ la constante est la moyenne de Y dans le groupe particulier défini par
X 1 = X 2 = · · · = X m = 0
→ interprétation non intéressante si le groupe défini par X 1 = X 2 =
· · · = X m = 0 est loin du domaine d’observation, ce qui arrivera souvent
en pratique
→ on pourra rendre l’interprétation de la constante intéressante en centrant les prédicteurs, c’est-à-dire en leur soustrayant leur moyenne, auquel
cas le groupe défini par X 1 = X 2 = · · · = X m = 0 sera celui des individus
qui sont dans la moyenne par rapport à tous les prédicteurs
• pour la pente associée au prédicteur X 1 , on a pour n’importe quelle
valeur possible x 1 :
mean(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
−mean(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m ) =
β 0 + β 1 (x 1 + 1) + β 2 x 2 + · · · β m x m
−(β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + · · · β m x m )
et ainsi :
β 1 = mean(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
−mean(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
→ la pente associée à X 1 est la différence de moyenne de Y entre deux
groupes différant d’une unité par rapport à X 1 , et identiques par rapport
à tous les autres prédicteurs
• pour la pente associée au prédicteur X 2 , on a de même pour n’importe quelle valeur possible x 2 :
β 2 = mean(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 + 1, · · · , X m = x m )
−mean(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
→ la pente associée à X 2 est la différence de moyenne de Y entre deux
groupes différant d’une unité par rapport à X 2 et identiques par rapport
à tous les autres prédicteurs
→ interprétation similaire (et intéressante) pour toutes les pentes
→ ces pentes nous aideront à répondre à la deuxième question énoncée en
début de chapitre (comment se modifie Y en fonction de X 1 , X 2 , · · · , X m ).
225
• pour la constante, on a :
β 0 = mean(Y |X 1 = 0, X 2 = 0, · · · , X m = 0)
→ la constante est la moyenne de Y dans le groupe particulier défini par
X 1 = X 2 = · · · = X m = 0
→ interprétation non intéressante si le groupe défini par X 1 = X 2 =
· · · = X m = 0 est loin du domaine d’observation, ce qui arrivera souvent
en pratique
→ on pourra rendre l’interprétation de la constante intéressante en centrant les prédicteurs, c’est-à-dire en leur soustrayant leur moyenne, auquel
cas le groupe défini par X 1 = X 2 = · · · = X m = 0 sera celui des individus
qui sont dans la moyenne par rapport à tous les prédicteurs
• pour la pente associée au prédicteur X 1 , on a pour n’importe quelle
valeur possible x 1 :
mean(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
−mean(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m ) =
β 0 + β 1 (x 1 + 1) + β 2 x 2 + · · · β m x m
−(β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + · · · β m x m )
et ainsi :
β 1 = mean(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
−mean(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
→ la pente associée à X 1 est la différence de moyenne de Y entre deux
groupes différant d’une unité par rapport à X 1 , et identiques par rapport
à tous les autres prédicteurs
• pour la pente associée au prédicteur X 2 , on a de même pour n’importe quelle valeur possible x 2 :
β 2 = mean(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 + 1, · · · , X m = x m )
−mean(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
→ la pente associée à X 2 est la différence de moyenne de Y entre deux
groupes différant d’une unité par rapport à X 2 et identiques par rapport
à tous les autres prédicteurs
→ interprétation similaire (et intéressante) pour toutes les pentes
→ ces pentes nous aideront à répondre à la deuxième question énoncée en
début de chapitre (comment se modifie Y en fonction de X 1 , X 2 , · · · , X m ).