13. Régression linéaire simple
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où les hypothèses d’un modèle de régression linéaire semblent raisonnables. On
va voir comment tout peut être calculé à partir des cinq moyennes suivantes :
1
n
i x i = ¯
x =
μ X = 162.43,
1
n
i y i = ¯
y =
μ Y = 62.96,
1
n
i x
2
i = 26 419.17,
1
n
i x i y i = 10 252.18 et
1
n
i y
2
i = 4077.42. On peut calculer :
i
(x i − ¯
x)
2 =
i
x
2
i − n¯ x
2 = 30(26 419.17 − 162.43
2 ) = 1037.37
ainsi que :
i
(y i − ¯
y)
2 =
i
y
2
i − n¯ y
2 = 30(4077.42 − 62.96
2 ) = 3403.81
et estimer les variances de X et Y par ˜
σ
2
X = 1037.37/29 = 35.77 et ˜
σ
2
Y =
3403.81/29 = 117.37 (ce qui implique les estimations des écarts types ˜
σ X =
√
35.77 = 5.98 et ˜
σ Y =
√
117.37 = 10.83). On peut aussi calculer :
i
(x i − ¯
x)(y i − ¯
y) =
i
x i y i − n¯ x¯ y = 30(10 252.18 − 162.43 · 62.96) = 761.22
et estimer la corrélation par :
ρ =
i (x i − ¯
x)(y i − ¯
y)
i (x i − ¯
x) 2 ·
i (y i − ¯
y) 2
=
761.22
√
1037.37 · 3403.81
= 0.405.
Le pourcentage de la variance de Y prédite linéairement par X est donc estimé
par
ρ
2 = 0.405
2 = 16.4 %. On avait également calculé :
β 1 =
i (x i − ¯
x)(y i − ¯
y)
i (x i − ¯
x) 2
=
761.22
1037.37
= 0.734
ainsi que :
β 0 = ¯
y −
β 1 · ¯
x = 62.96 − 0.734 · 162.43 = −56.23
obtenant l’estimation de la droite de régression :
y
∗ =
β 0 +
β 1 x = −56.23 + 0.734x.
On peut à présent estimer la variance résiduelle :
˜
σ
2
ε =
i (y i − ¯
y)
2
−
β
2
1 ·
i (x i − ¯
x)
2
n − 2
=
3403.81 − 0.734
2
· 1037.37
28
= 101.62
(ce qui implique l’estimation de l’écart type résiduel ˜
σ ε =
√
101.62 = 10.08). Si
on veut faire de l’inférence sur β 1 , on estime son erreur type par :
˜
σ ε
i (x i − ¯
x) 2
=
10.08
√
1037.37
= 0.313