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Statistique appliquée aux sciences de la vie
et on calcule un intervalle de confiance au niveau 95 % pour β 1 par (en utilisant
t 0.975,28 = 2.05) :
β 1 ± t 0.975,28
˜
σ ε
i (x i − ¯
x) 2
= 0.734 ± 2.05 · 0.313 = [0.093; 1.375].
Si on veut tester l’hypothèse nulle H 0 : β 1 = 0 avec un test de Student, on
calcule la statistique de test suivante :
t stat =
β 1
˜
σε
√ P
i (xi−¯ x) 2
=
0.734
0.313
= 2.34.
Comme on a |t stat | = 2.34 > 2.05 = t 0.975,28 , on rejette H 0 dans un test
bilatéral au seuil de 5 % et on conclut β 1 > 0 (ce qui est compatible avec le
fait que la valeur 0 n’appartient pas à l’intervalle de confiance ci-dessus). Un
logiciel statistique nous donnera ici p = 0.026. Notons que l’on obtient la même
statistique de test si on teste l’hypothèse nulle équivalente H 0 : ρ = 0 définie
par :
t stat =
√
n − 2 ·
ρ
1 −
ρ 2
=
√
28 · 0.405
√
1 − 0.405 2
= 2.34
d’où l’on peut conclure ρ > 0 (avec également p = 0.026). Le lecteur pourra par
ailleurs calculer un intervalle de confiance au niveau 95 % pour β 0 donné par :
−53.26 ± 2.05 · 50.87 = [−160.44; 47.97]
alors que des intervalles de confiance au niveau 95 % pour β 0 + β 1 x pour différentes valeurs de x sont montrés dans la figure 13.7.
13.8 Intervalle de prédiction
On a introduit la régression comme une méthode nous permettant d’effectuer des prédictions. On a considéré jusqu’ici uniquement des prédictions
ponctuelles. Sous les hypothèses d’un modèle de régression linéaire, il sera possible de calculer en outre des intervalles de prédiction.
Le concept d’intervalle de prédiction a été introduit au chapitre 4. À partir
de l’estimation
μ Y de la moyenne μ Y et de l’estimation ˜
σ
2
Y de la variance σ
2
Y
d’une variable Y , on calcule l’intervalle de prédiction au niveau 95 % suivant :
μ Y ± 2 · ˜
σ Y .
Sous l’hypothèse de la normalité de Y , cet intervalle contient (approximativement) 95 % des observations. Si on considère un individu de la population dont
on aimerait prédire la valeur de Y , il y aura ainsi une probabilité (approximativement) de 0.95 pour que cette valeur soit contenue dans cet intervalle. Si
on connaît par ailleurs la valeur x d’une caractéristique X de cet individu, et
Statistique appliquée aux sciences de la vie
et on calcule un intervalle de confiance au niveau 95 % pour β 1 par (en utilisant
t 0.975,28 = 2.05) :
β 1 ± t 0.975,28
˜
σ ε
i (x i − ¯
x) 2
= 0.734 ± 2.05 · 0.313 = [0.093; 1.375].
Si on veut tester l’hypothèse nulle H 0 : β 1 = 0 avec un test de Student, on
calcule la statistique de test suivante :
t stat =
β 1
˜
σε
√ P
i (xi−¯ x) 2
=
0.734
0.313
= 2.34.
Comme on a |t stat | = 2.34 > 2.05 = t 0.975,28 , on rejette H 0 dans un test
bilatéral au seuil de 5 % et on conclut β 1 > 0 (ce qui est compatible avec le
fait que la valeur 0 n’appartient pas à l’intervalle de confiance ci-dessus). Un
logiciel statistique nous donnera ici p = 0.026. Notons que l’on obtient la même
statistique de test si on teste l’hypothèse nulle équivalente H 0 : ρ = 0 définie
par :
t stat =
√
n − 2 ·
ρ
1 −
ρ 2
=
√
28 · 0.405
√
1 − 0.405 2
= 2.34
d’où l’on peut conclure ρ > 0 (avec également p = 0.026). Le lecteur pourra par
ailleurs calculer un intervalle de confiance au niveau 95 % pour β 0 donné par :
−53.26 ± 2.05 · 50.87 = [−160.44; 47.97]
alors que des intervalles de confiance au niveau 95 % pour β 0 + β 1 x pour différentes valeurs de x sont montrés dans la figure 13.7.
13.8 Intervalle de prédiction
On a introduit la régression comme une méthode nous permettant d’effectuer des prédictions. On a considéré jusqu’ici uniquement des prédictions
ponctuelles. Sous les hypothèses d’un modèle de régression linéaire, il sera possible de calculer en outre des intervalles de prédiction.
Le concept d’intervalle de prédiction a été introduit au chapitre 4. À partir
de l’estimation
μ Y de la moyenne μ Y et de l’estimation ˜
σ
2
Y de la variance σ
2
Y
d’une variable Y , on calcule l’intervalle de prédiction au niveau 95 % suivant :
μ Y ± 2 · ˜
σ Y .
Sous l’hypothèse de la normalité de Y , cet intervalle contient (approximativement) 95 % des observations. Si on considère un individu de la population dont
on aimerait prédire la valeur de Y , il y aura ainsi une probabilité (approximativement) de 0.95 pour que cette valeur soit contenue dans cet intervalle. Si
on connaît par ailleurs la valeur x d’une caractéristique X de cet individu, et