13. Régression linéaire simple
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→ la pente de la droite de régression nous aidera à répondre à la seconde question de la régression énoncée en début de chapitre (comment
se modifie Y en fonction de X).
Sous l’hypothèse de linéarité, la pente d’une droite de régression représente
l’augmentation moyenne de Y lorsque X augmente d’une unité.
Exemple 13.6 On reprend notre exemple de la relation entre la taille et le
poids, où l’on avait estimé l’équation de régression
y
∗ = −56.23 + 0.734x. Sous
l’hypothèse de linéarité, on a les interprétations suivantes :
• contante :
β 0 = −56.23
→ le poids moyen d’un individu mesurant 0 cm est estimé à −56.23 kg
→ exemple d’interprétation absurde (la valeur X = 0 n’étant pas une
valeur intéressante, ni même sensée pour X)
→ la constante n’est pas interprétable, mais demeure indispensable pour
l’estimation des poids moyens des différents groupes
• pente :
β 1 = 0.734
→ la différence de moyenne du poids entre deux groupes différant de 1
cm en taille est estimée à 0.734 kg
→ la différence de moyenne du poids entre deux groupes différant de 10
cm en taille est estimée à 7.34 kg
→ on observe une augmentation de 0.734 kg par cm.
On notera que l’interprétation des paramètres se modifie avec un changement d’unités des variables. On peut ainsi rendre la constante intéressante en
rendant la valeur X = 0 intéressante. Si par exemple une taille de 160 cm est
considérée intéressante, on peut soustraire 160 cm à toutes les tailles. De cette
manière la valeur X = 0 représente le groupe des 160 cm et la constante β 0
sera la moyenne des poids dans ce groupe. On peut alternativement standardiser une variable X en lui soustrayant d’abord sa moyenne et en la divisant
ensuite par son écart type, de telle sorte que la valeur X = 0 représente la
moyenne de cette variable et qu’une différence d’une unité entre deux valeurs
de X corresponde à une différence d’un écart type.
Exemple 13.7 La moyenne des tailles de notre échantillon est de 162.4 cm et
l’écart type est de 5.98 cm. Si on soustrait aux tailles originales 162.4, si on les
divise ensuite par 5.98 (obtenant par exemple pour un individu mesurant 160
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→ la pente de la droite de régression nous aidera à répondre à la seconde question de la régression énoncée en début de chapitre (comment
se modifie Y en fonction de X).
Sous l’hypothèse de linéarité, la pente d’une droite de régression représente
l’augmentation moyenne de Y lorsque X augmente d’une unité.
Exemple 13.6 On reprend notre exemple de la relation entre la taille et le
poids, où l’on avait estimé l’équation de régression
y
∗ = −56.23 + 0.734x. Sous
l’hypothèse de linéarité, on a les interprétations suivantes :
• contante :
β 0 = −56.23
→ le poids moyen d’un individu mesurant 0 cm est estimé à −56.23 kg
→ exemple d’interprétation absurde (la valeur X = 0 n’étant pas une
valeur intéressante, ni même sensée pour X)
→ la constante n’est pas interprétable, mais demeure indispensable pour
l’estimation des poids moyens des différents groupes
• pente :
β 1 = 0.734
→ la différence de moyenne du poids entre deux groupes différant de 1
cm en taille est estimée à 0.734 kg
→ la différence de moyenne du poids entre deux groupes différant de 10
cm en taille est estimée à 7.34 kg
→ on observe une augmentation de 0.734 kg par cm.
On notera que l’interprétation des paramètres se modifie avec un changement d’unités des variables. On peut ainsi rendre la constante intéressante en
rendant la valeur X = 0 intéressante. Si par exemple une taille de 160 cm est
considérée intéressante, on peut soustraire 160 cm à toutes les tailles. De cette
manière la valeur X = 0 représente le groupe des 160 cm et la constante β 0
sera la moyenne des poids dans ce groupe. On peut alternativement standardiser une variable X en lui soustrayant d’abord sa moyenne et en la divisant
ensuite par son écart type, de telle sorte que la valeur X = 0 représente la
moyenne de cette variable et qu’une différence d’une unité entre deux valeurs
de X corresponde à une différence d’un écart type.
Exemple 13.7 La moyenne des tailles de notre échantillon est de 162.4 cm et
l’écart type est de 5.98 cm. Si on soustrait aux tailles originales 162.4, si on les
divise ensuite par 5.98 (obtenant par exemple pour un individu mesurant 160