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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Toujours dans le cas d’une variable (X, Y ) normale bivariée, on mentionnera
qu’il existe également un test exact pour tester l’hypothèse nulle particulière :
H 0 : ρ = 0.
La statistique de test est donnée par :
T stat =
√
n − 2 ·
ρ
1 −
ρ 2
qui sous l’hypothèse nulle aura une distribution de Student avec n−2 dl. Comme
d’habitude, on rejette H 0 dans un test bilatéral au seuil α si |t stat | ≥ t 1−α/2,n−2 .
Dans le cas d’un résultat significatif, on conclut alors ρ < 0 ou ρ > 0 selon que
t stat < 0 ou t stat > 0, c’est-à-dire selon que
ρ < 0 ou
ρ > 0.
Exemple 12.8 En reprenant notre exemple de l’association entre la longueur
de la main et la taille d’une personne, on calcule pour les filles :
t stat =
√
287 · 0.57
√
1 − 0.57 2
= 11.8
et pour les garçons :
t stat =
√
203 · 0.53
√
1 − 0.53 2
= 8.9.
Dans les deux cas, on rejette l’hypothèse nulle H 0 : ρ = 0 au seuil de 5 %
(test bilatéral) car la statistique de test est plus grande que t 0.975,287 = 1.97,
respectivement que t 0.975,203 = 1.97 (un logiciel statistique nous donnera dans
les deux cas p < 0.0001), et on conclut à une corrélation significative et positive
entre ces deux variables.
On terminera cette section en rappelant qu’un résultat significatif n’implique pas forcément un résultat cliniquement important. La situation est particulièrement claire dans le cas d’une corrélation, la statistique de test ci-dessus
dépendant explicitement des deux seules quantités
ρ et n. Ainsi, n’importe
quelle corrélation empirique
ρ non nulle sera significative si elle est observée
sur un échantillon de taille n suffisamment grande
12 .
12 Une corrélation empirique b
ρ sera en effet significative au seuil de 5 % (dans un test
bilatéral) si n ≥ 2 + 1.96 2 (1 − b
ρ 2 )/b ρ 2 (on a ici remplacé pour simplifier t 0.975,n−2 par 1.96).
Ainsi, même une corrélation empirique aussi petite que b
ρ = 0.01 sera significative si elle a
été calculée sur un échantillon de n = 40 000 individus.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Toujours dans le cas d’une variable (X, Y ) normale bivariée, on mentionnera
qu’il existe également un test exact pour tester l’hypothèse nulle particulière :
H 0 : ρ = 0.
La statistique de test est donnée par :
T stat =
√
n − 2 ·
ρ
1 −
ρ 2
qui sous l’hypothèse nulle aura une distribution de Student avec n−2 dl. Comme
d’habitude, on rejette H 0 dans un test bilatéral au seuil α si |t stat | ≥ t 1−α/2,n−2 .
Dans le cas d’un résultat significatif, on conclut alors ρ < 0 ou ρ > 0 selon que
t stat < 0 ou t stat > 0, c’est-à-dire selon que
ρ < 0 ou
ρ > 0.
Exemple 12.8 En reprenant notre exemple de l’association entre la longueur
de la main et la taille d’une personne, on calcule pour les filles :
t stat =
√
287 · 0.57
√
1 − 0.57 2
= 11.8
et pour les garçons :
t stat =
√
203 · 0.53
√
1 − 0.53 2
= 8.9.
Dans les deux cas, on rejette l’hypothèse nulle H 0 : ρ = 0 au seuil de 5 %
(test bilatéral) car la statistique de test est plus grande que t 0.975,287 = 1.97,
respectivement que t 0.975,203 = 1.97 (un logiciel statistique nous donnera dans
les deux cas p < 0.0001), et on conclut à une corrélation significative et positive
entre ces deux variables.
On terminera cette section en rappelant qu’un résultat significatif n’implique pas forcément un résultat cliniquement important. La situation est particulièrement claire dans le cas d’une corrélation, la statistique de test ci-dessus
dépendant explicitement des deux seules quantités
ρ et n. Ainsi, n’importe
quelle corrélation empirique
ρ non nulle sera significative si elle est observée
sur un échantillon de taille n suffisamment grande
12 .
12 Une corrélation empirique b
ρ sera en effet significative au seuil de 5 % (dans un test
bilatéral) si n ≥ 2 + 1.96 2 (1 − b
ρ 2 )/b ρ 2 (on a ici remplacé pour simplifier t 0.975,n−2 par 1.96).
Ainsi, même une corrélation empirique aussi petite que b
ρ = 0.01 sera significative si elle a
été calculée sur un échantillon de n = 40 000 individus.