12. Analyse de corrélation
185
qui transforme un nombre compris entre −∞ et +∞ en une corrélation comprise
entre −1 et +1. L’intervalle donné par :
tanh
arctanh( ρ) −
z 1−α/2
√
n − 3
; tanh
arctanh( ρ) +
z 1−α/2
√
n − 3
est donc un intervalle de confiance au niveau 1 − α pour ρ. Cet intervalle est
valide pour autant que la distribution de (X, Y ) soit proche d’être normale
bivariée
10 .
En utilisant la dualité entre intervalle de confiance et test statistique, la
procédure décrite ci-dessus nous permet également de tester une hypothèse
nulle du type :
H 0 : ρ = ρ
∗ .
On rejettera H 0 dans un test bilatéral au seuil α si la valeur testée ρ
∗ n’appartient pas à l’intervalle de confiance ci-dessus
11 .
Exemple 12.7 On reprend l’exemple de l’association entre la longueur de la
main et la taille de n = 289 filles et n = 205 garçons. Dans les deux cas, on
est proche de la binormalité. Pour les filles, on avait une corrélation empirique
de
ρ = 0.57. Après transformation, on obtient arctanh( ρ) = 0.65 et donc un
intervalle de confiance au niveau 95 % pour arctanh(ρ) donné par :
0.65 ± 1.96/
√
286 = [0.53; 0.77].
Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour ρ est ainsi donné par :
[tanh(0.53); tanh(0.77)] = [0.49; 0.64].
Pour les garçons, on avait une corrélation empirique de
ρ = 0.53. Après transformation, on obtient arctanh( ρ) = 0.59 et donc un intervalle de confiance au
niveau 95 % pour arctanh(ρ) donné par :
0.59 ± 1.96/
√
202 = [0.45; 0.73].
Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour ρ est ainsi donné par :
[tanh(0.45); tanh(0.73)] = [0.42; 0.62].
Notons que dans les deux cas, la valeur 0 est loin d’appartenir à l’intervalle de
confiance, de sorte que l’on peut conclure que ces corrélations sont significatives
au seuil de 5 %.
10 On pourra utiliser cette même technique pour calculer un intervalle de confiance pour la
corrélation de Spearman sans que l’on ait besoin de la binormalité.
11 La statistique de test calculée sera ici tstat =
√
n − 3 · (arctanh(b ρ) − arctanh(ρ ∗ )) et on
aura un résultat significatif dans un test bilatéral au seuil α si |tstat| ≥ z 1−α/2 . Comme
d’habitude, on conclura dans le cas d’un résultat significatif ρ < ρ ∗ ou ρ > ρ ∗ selon que
tstat < 0 ou tstat > 0, c’est-à-dire selon que b
ρ < ρ ∗ ou b
ρ > ρ ∗ .
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qui transforme un nombre compris entre −∞ et +∞ en une corrélation comprise
entre −1 et +1. L’intervalle donné par :
tanh
arctanh( ρ) −
z 1−α/2
√
n − 3
; tanh
arctanh( ρ) +
z 1−α/2
√
n − 3
est donc un intervalle de confiance au niveau 1 − α pour ρ. Cet intervalle est
valide pour autant que la distribution de (X, Y ) soit proche d’être normale
bivariée
10 .
En utilisant la dualité entre intervalle de confiance et test statistique, la
procédure décrite ci-dessus nous permet également de tester une hypothèse
nulle du type :
H 0 : ρ = ρ
∗ .
On rejettera H 0 dans un test bilatéral au seuil α si la valeur testée ρ
∗ n’appartient pas à l’intervalle de confiance ci-dessus
11 .
Exemple 12.7 On reprend l’exemple de l’association entre la longueur de la
main et la taille de n = 289 filles et n = 205 garçons. Dans les deux cas, on
est proche de la binormalité. Pour les filles, on avait une corrélation empirique
de
ρ = 0.57. Après transformation, on obtient arctanh( ρ) = 0.65 et donc un
intervalle de confiance au niveau 95 % pour arctanh(ρ) donné par :
0.65 ± 1.96/
√
286 = [0.53; 0.77].
Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour ρ est ainsi donné par :
[tanh(0.53); tanh(0.77)] = [0.49; 0.64].
Pour les garçons, on avait une corrélation empirique de
ρ = 0.53. Après transformation, on obtient arctanh( ρ) = 0.59 et donc un intervalle de confiance au
niveau 95 % pour arctanh(ρ) donné par :
0.59 ± 1.96/
√
202 = [0.45; 0.73].
Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour ρ est ainsi donné par :
[tanh(0.45); tanh(0.73)] = [0.42; 0.62].
Notons que dans les deux cas, la valeur 0 est loin d’appartenir à l’intervalle de
confiance, de sorte que l’on peut conclure que ces corrélations sont significatives
au seuil de 5 %.
10 On pourra utiliser cette même technique pour calculer un intervalle de confiance pour la
corrélation de Spearman sans que l’on ait besoin de la binormalité.
11 La statistique de test calculée sera ici tstat =
√
n − 3 · (arctanh(b ρ) − arctanh(ρ ∗ )) et on
aura un résultat significatif dans un test bilatéral au seuil α si |tstat| ≥ z 1−α/2 . Comme
d’habitude, on conclura dans le cas d’un résultat significatif ρ < ρ ∗ ou ρ > ρ ∗ selon que
tstat < 0 ou tstat > 0, c’est-à-dire selon que b
ρ < ρ ∗ ou b
ρ > ρ ∗ .