12. Analyse de corrélation
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variables par leurs rangs. Si on note par R = rang(X) et S = rang(Y ), on a
donc par définition :
spearman(X, Y ) = correlation(R, S).
La corrélation de Spearman possède les propriétés avantageuses suivantes :
• au contraire de la corrélation de Pearson, la corrélation de Spearman est
robuste par rapport aux valeurs extrêmes ou aberrantes
• comme il s’agit d’un cas particulier de corrélation de Pearson, les valeurs
possibles d’une corrélation de Spearman sont comprises entre −1 et +1
• les valeurs minimales et maximales de −1 et +1 sont atteintes non seulement dans le cas d’une relation exacte linéaire, mais plus généralement
dans le cas d’une relation exacte monotone
• la corrélation de Spearman est invariante (au signe près) non seulement
suite à un changement d’unités (transformation linéaire/affine), mais plus
généralement suite à une transformation monotone de X et/ou de Y
→ on aura par exemple spearman(log(X),
√
Y ) = spearman(X, Y )
• Si (X, Y ) est normale bivariée avec corrélation ρ, on aura :
spearman(X, Y ) = (6/π) arcsin (ρ/2)
→ comme (6/π) arcsin (ρ/2) ≈ ρ, on aura ainsi dans un cadre binormal
7 :
spearman(X, Y ) ≈ correlation(X, Y )
→ le fait d’avoir des corrélations de Spearman et de Pearson proches l’une
de l’autre est compatible avec la binormalité des données.
Admettons qu’il existe des transformations monotones g et h de X et Y telles
que la variable bivariée ainsi transformée (g(X), h(Y )) soit (approximativement) normale bivariée. Les deux dernières propriétés de la corrélation de
Spearman impliquent le résultat remarquable suivant :
spearman(X, Y ) = spearman(g(X), h(Y ))
≈ correlation(g(X), h(Y )).
En calculant la corrélation de Spearman entre X et Y , on obtient ainsi une
approximation de la corrélation de Pearson que l’on aurait si on réussissait à
atteindre (ou à approcher) la binormalité à l’aide de transformations g et h,
sans pour autant devoir identifier ces transformations.
7 Dans un cadre binormal, la corrélation de Spearman sera légèrement plus petite que
la corrélation habituelle de Pearson (en valeur absolue), mais la différence entre les deux
n’excédera pas 0.02.
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variables par leurs rangs. Si on note par R = rang(X) et S = rang(Y ), on a
donc par définition :
spearman(X, Y ) = correlation(R, S).
La corrélation de Spearman possède les propriétés avantageuses suivantes :
• au contraire de la corrélation de Pearson, la corrélation de Spearman est
robuste par rapport aux valeurs extrêmes ou aberrantes
• comme il s’agit d’un cas particulier de corrélation de Pearson, les valeurs
possibles d’une corrélation de Spearman sont comprises entre −1 et +1
• les valeurs minimales et maximales de −1 et +1 sont atteintes non seulement dans le cas d’une relation exacte linéaire, mais plus généralement
dans le cas d’une relation exacte monotone
• la corrélation de Spearman est invariante (au signe près) non seulement
suite à un changement d’unités (transformation linéaire/affine), mais plus
généralement suite à une transformation monotone de X et/ou de Y
→ on aura par exemple spearman(log(X),
√
Y ) = spearman(X, Y )
• Si (X, Y ) est normale bivariée avec corrélation ρ, on aura :
spearman(X, Y ) = (6/π) arcsin (ρ/2)
→ comme (6/π) arcsin (ρ/2) ≈ ρ, on aura ainsi dans un cadre binormal
7 :
spearman(X, Y ) ≈ correlation(X, Y )
→ le fait d’avoir des corrélations de Spearman et de Pearson proches l’une
de l’autre est compatible avec la binormalité des données.
Admettons qu’il existe des transformations monotones g et h de X et Y telles
que la variable bivariée ainsi transformée (g(X), h(Y )) soit (approximativement) normale bivariée. Les deux dernières propriétés de la corrélation de
Spearman impliquent le résultat remarquable suivant :
spearman(X, Y ) = spearman(g(X), h(Y ))
≈ correlation(g(X), h(Y )).
En calculant la corrélation de Spearman entre X et Y , on obtient ainsi une
approximation de la corrélation de Pearson que l’on aurait si on réussissait à
atteindre (ou à approcher) la binormalité à l’aide de transformations g et h,
sans pour autant devoir identifier ces transformations.
7 Dans un cadre binormal, la corrélation de Spearman sera légèrement plus petite que
la corrélation habituelle de Pearson (en valeur absolue), mais la différence entre les deux
n’excédera pas 0.02.