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Statistique appliquée aux sciences de la vie
La corrélation ρ n’est pas seulement un résumé,
mais caractérise l’association entre X et Y si (X, Y ) est normale bivariée.
On mentionnera en outre les propriétés suivantes valables dans le cas où (X, Y )
est normale bivariée :
• une relation exacte entre X et Y est forcément linéaire (et donc une
relation exacte entre X et Y implique une corrélation de ±1)
• une corrélation nulle entre X et Y implique l’indépendance entre ces
variables (ce qui on l’a vu n’était pas le cas dans un cadre plus général).
Dans le cas où X et Y sont normales standardisées, c’est-à-dire lorsque
μ X = μ Y = 0 et σ X = σ Y = 1, la densité de probabilité d’une variable (X, Y )
normale bivariée est donnée par :
f (x, y) =
1
2π
1 − ρ 2
exp
−
x
2
− 2ρxy + y
2
2(1 − ρ 2 )
.
La figure 12.8 nous montre des données provenant de ces distributions binormales pour différentes valeurs de ρ. On reconnaît la binormalité des données
aux aspects suivants :
• les composantes X et Y sont normales univariées si (X, Y ) est normale
bivariée (la réciproque est cependant fausse : la normalité de X et Y est
une condition nécessaire mais pas suffisante à la binormalité de (X, Y ))
• des données normales bivariées sont homogènes, remplissant une ellipse
plus ou moins étirée selon la valeur de la corrélation.
Le calcul d’une corrélation fera donc particulièrement de sens dans un cadre
normal bivarié. Afin de nous guider dans notre choix de population, qui on l’a
vu aura une grande influence sur la valeur d’une corrélation, une approche possible consiste ainsi à rechercher autant que possible la binormalité des données
(par exemple en transformant les données, en éliminant les valeurs extrêmes
ou aberrantes, en effectuant des analyses séparées dans différents sous-groupes)
avant de calculer une corrélation. En fait, la plupart des exemples potentiellement problématiques vus précédemment (relation exacte mais non linéaire,
corrélation nulle sans l’indépendance des variables, présence de valeurs aberrantes, mélange de sous-populations, variabilité artificielle) ne se retrouvent pas
dans un cadre normal bivarié. Rechercher la binormalité des données facilitera
donc grandement l’interprétation d’une corrélation.
12.7 Corrélation de Spearman
On appelle corrélation de Spearman la corrélation habituelle (c’est-à-dire
la corrélation de Pearson) calculée en remplaçant les valeurs originales des
Statistique appliquée aux sciences de la vie
La corrélation ρ n’est pas seulement un résumé,
mais caractérise l’association entre X et Y si (X, Y ) est normale bivariée.
On mentionnera en outre les propriétés suivantes valables dans le cas où (X, Y )
est normale bivariée :
• une relation exacte entre X et Y est forcément linéaire (et donc une
relation exacte entre X et Y implique une corrélation de ±1)
• une corrélation nulle entre X et Y implique l’indépendance entre ces
variables (ce qui on l’a vu n’était pas le cas dans un cadre plus général).
Dans le cas où X et Y sont normales standardisées, c’est-à-dire lorsque
μ X = μ Y = 0 et σ X = σ Y = 1, la densité de probabilité d’une variable (X, Y )
normale bivariée est donnée par :
f (x, y) =
1
2π
1 − ρ 2
exp
−
x
2
− 2ρxy + y
2
2(1 − ρ 2 )
.
La figure 12.8 nous montre des données provenant de ces distributions binormales pour différentes valeurs de ρ. On reconnaît la binormalité des données
aux aspects suivants :
• les composantes X et Y sont normales univariées si (X, Y ) est normale
bivariée (la réciproque est cependant fausse : la normalité de X et Y est
une condition nécessaire mais pas suffisante à la binormalité de (X, Y ))
• des données normales bivariées sont homogènes, remplissant une ellipse
plus ou moins étirée selon la valeur de la corrélation.
Le calcul d’une corrélation fera donc particulièrement de sens dans un cadre
normal bivarié. Afin de nous guider dans notre choix de population, qui on l’a
vu aura une grande influence sur la valeur d’une corrélation, une approche possible consiste ainsi à rechercher autant que possible la binormalité des données
(par exemple en transformant les données, en éliminant les valeurs extrêmes
ou aberrantes, en effectuant des analyses séparées dans différents sous-groupes)
avant de calculer une corrélation. En fait, la plupart des exemples potentiellement problématiques vus précédemment (relation exacte mais non linéaire,
corrélation nulle sans l’indépendance des variables, présence de valeurs aberrantes, mélange de sous-populations, variabilité artificielle) ne se retrouvent pas
dans un cadre normal bivarié. Rechercher la binormalité des données facilitera
donc grandement l’interprétation d’une corrélation.
12.7 Corrélation de Spearman
On appelle corrélation de Spearman la corrélation habituelle (c’est-à-dire
la corrélation de Pearson) calculée en remplaçant les valeurs originales des