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Statistique appliquée aux sciences de la vie
• covariance(X, Y ) ≈ 0
→ les contributions positives et négatives s’annulent
→ on aura en principe autant d’individus dans les quadrants 1 et 3 que
dans les quadrants 2 et 4
→ relation globalement nulle.
Exemple 12.1 On reprend l’exemple de la relation entre la longueur de la
main et la taille de n = 494 étudiants en médecine. On a ici
1
n
i x i = 19.0063
(la moyenne des longueurs de mains est de 19 cm),
1
n
i y i = 173.1144 (la
moyenne des tailles des étudiants est de 173 cm) et
1
n
i x i y i = 3300.17 (si
on calcule pour chaque individu le produit de la longueur de sa main et de sa
taille, la moyenne de ces produits est de 3300 cm
2 ). On obtient ainsi :
covariance(X, Y ) = 3300.17 − 19.0063 · 173.1144 = 9.9.
Cette covariance positive confirme quantitativement ce que le diagramme de
dispersion nous suggère visuellement, à savoir une relation globalement positive
entre la longueur de la main et la taille d’une personne. Par ailleurs, la figure
12.3 nous montre la répartition des étudiants dans les quatre quadrants. Il y en
a effectivement nettement plus dans les quadrants 1 et 3 que dans les quadrants
2 et 4, ce qui est le propre des relations globalement positives.
La covariance satisfait de nombreuses propriétés mathématiques. En voici
quelques-unes que nous laisserons le soin au lecteur de vérifier :
covariance(X, Y ) = covariance(Y, X)
covariance(X, Y + Z) = covariance(X, Y ) + covariance(X, Z)
covariance(X, a) = 0
covariance(X, a + bY ) = b · covariance(X, Y ).
La première propriété est une propriété de symétrie. La deuxième est une propriété de distributivité. La troisième nous dit que la covariance entre une variable X et une constante a est nulle. La quatrième propriété nous informe sur
la conséquence d’un changement d’unités. On retrouve ainsi un résultat déjà
mentionné :
variance(a + bX) = covariance(a + bX, a + bX)
= b · b · covariance(X, X)
= b
2
· variance(X).
On en déduit également le résultat suivant :
variance(X + Y ) = covariance(X + Y, X + Y )
= covariance(X, X) + covariance(X, Y )
+ covariance(Y, X) + covariance(Y, Y )
= variance(X) + variance(Y ) + 2 · covariance(X, Y ).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
• covariance(X, Y ) ≈ 0
→ les contributions positives et négatives s’annulent
→ on aura en principe autant d’individus dans les quadrants 1 et 3 que
dans les quadrants 2 et 4
→ relation globalement nulle.
Exemple 12.1 On reprend l’exemple de la relation entre la longueur de la
main et la taille de n = 494 étudiants en médecine. On a ici
1
n
i x i = 19.0063
(la moyenne des longueurs de mains est de 19 cm),
1
n
i y i = 173.1144 (la
moyenne des tailles des étudiants est de 173 cm) et
1
n
i x i y i = 3300.17 (si
on calcule pour chaque individu le produit de la longueur de sa main et de sa
taille, la moyenne de ces produits est de 3300 cm
2 ). On obtient ainsi :
covariance(X, Y ) = 3300.17 − 19.0063 · 173.1144 = 9.9.
Cette covariance positive confirme quantitativement ce que le diagramme de
dispersion nous suggère visuellement, à savoir une relation globalement positive
entre la longueur de la main et la taille d’une personne. Par ailleurs, la figure
12.3 nous montre la répartition des étudiants dans les quatre quadrants. Il y en
a effectivement nettement plus dans les quadrants 1 et 3 que dans les quadrants
2 et 4, ce qui est le propre des relations globalement positives.
La covariance satisfait de nombreuses propriétés mathématiques. En voici
quelques-unes que nous laisserons le soin au lecteur de vérifier :
covariance(X, Y ) = covariance(Y, X)
covariance(X, Y + Z) = covariance(X, Y ) + covariance(X, Z)
covariance(X, a) = 0
covariance(X, a + bY ) = b · covariance(X, Y ).
La première propriété est une propriété de symétrie. La deuxième est une propriété de distributivité. La troisième nous dit que la covariance entre une variable X et une constante a est nulle. La quatrième propriété nous informe sur
la conséquence d’un changement d’unités. On retrouve ainsi un résultat déjà
mentionné :
variance(a + bX) = covariance(a + bX, a + bX)
= b · b · covariance(X, X)
= b
2
· variance(X).
On en déduit également le résultat suivant :
variance(X + Y ) = covariance(X + Y, X + Y )
= covariance(X, X) + covariance(X, Y )
+ covariance(Y, X) + covariance(Y, Y )
= variance(X) + variance(Y ) + 2 · covariance(X, Y ).