12. Analyse de corrélation
167
une formulation alternative et équivalente de la covariance est la suivante :
covariance(X, Y ) =
1
n
i
(x i − ¯
x) (y i − ¯
y)
=
1
n
i
x i y i − n¯ x¯ y
=
1
n
i
x i y i − ¯
x¯ y
= mean(XY ) − mean(X) · mean(Y )
Autrement dit, la covariance peut également être définie comme « la moyenne
du produit moins le produit des moyennes »
3 . Afin de calculer la covariance, il
suffit donc de connaître les moyennes suivantes :
1
n
i x i ,
1
n
i y i et
1
n
i x i y i .
Afin de pouvoir interpréter le signe de la covariance, on peut répartir les
individus en quatre quadrants comme suit :
• individus dans le quadrant 1 : x i > ¯
x et y i > ¯
y, produit (x i − ¯
x) · (y i − ¯
y)
positif et donc contribution positive à la covariance
• individus dans le quadrant 2 : x i < ¯
x et y i > ¯
y, produit (x i − ¯
x) · (y i − ¯
y)
négatif et donc contribution négative à la covariance
• individus dans le quadrant 3 : x i < ¯
x et y i < ¯
y, produit (x i − ¯
x) · (y i − ¯
y)
positif et donc contribution positive à la covariance
• individus dans le quadrant 4 : x i > ¯
x et y i < ¯
y, produit (x i − ¯
x) · (y i − ¯
y)
négatif et donc contribution négative à la covariance.
On a ainsi les résultats suivants :
• covariance(X, Y ) > 0
→ les contributions positives l’emportent sur les contributions négatives
→ on aura en principe plus d’individus dans les quadrants 1 et 3 que dans
les quadrants 2 et 4
→ relation globalement positive entre les variables
• covariance(X, Y ) < 0
→ les contributions négatives l’emportent sur les contributions positives
→ on aura en principe plus d’individus dans les quadrants 2 et 4 que dans
les quadrants 1 et 3
→ relation globalement négative entre les variables
3 On rappelle que la variance peut être définie comme « la moyenne des carrés moins le
carré de la moyenne ».
167
une formulation alternative et équivalente de la covariance est la suivante :
covariance(X, Y ) =
1
n
i
(x i − ¯
x) (y i − ¯
y)
=
1
n
i
x i y i − n¯ x¯ y
=
1
n
i
x i y i − ¯
x¯ y
= mean(XY ) − mean(X) · mean(Y )
Autrement dit, la covariance peut également être définie comme « la moyenne
du produit moins le produit des moyennes »
3 . Afin de calculer la covariance, il
suffit donc de connaître les moyennes suivantes :
1
n
i x i ,
1
n
i y i et
1
n
i x i y i .
Afin de pouvoir interpréter le signe de la covariance, on peut répartir les
individus en quatre quadrants comme suit :
• individus dans le quadrant 1 : x i > ¯
x et y i > ¯
y, produit (x i − ¯
x) · (y i − ¯
y)
positif et donc contribution positive à la covariance
• individus dans le quadrant 2 : x i < ¯
x et y i > ¯
y, produit (x i − ¯
x) · (y i − ¯
y)
négatif et donc contribution négative à la covariance
• individus dans le quadrant 3 : x i < ¯
x et y i < ¯
y, produit (x i − ¯
x) · (y i − ¯
y)
positif et donc contribution positive à la covariance
• individus dans le quadrant 4 : x i > ¯
x et y i < ¯
y, produit (x i − ¯
x) · (y i − ¯
y)
négatif et donc contribution négative à la covariance.
On a ainsi les résultats suivants :
• covariance(X, Y ) > 0
→ les contributions positives l’emportent sur les contributions négatives
→ on aura en principe plus d’individus dans les quadrants 1 et 3 que dans
les quadrants 2 et 4
→ relation globalement positive entre les variables
• covariance(X, Y ) < 0
→ les contributions négatives l’emportent sur les contributions positives
→ on aura en principe plus d’individus dans les quadrants 2 et 4 que dans
les quadrants 1 et 3
→ relation globalement négative entre les variables
3 On rappelle que la variance peut être définie comme « la moyenne des carrés moins le
carré de la moyenne ».