11. Tests exacts avec statistique de test discrète
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bien que ce dernier ne soit pas significatif au seuil de 5%. Si on remplaçait par
erreur le plus grand des hommes préhistoriques de notre échantillon qui mesurait 130 cm par la valeur aberrante de 230 cm, le résultat du test de MannWhitney n’en serait pas affecté (p = 0.04) car les rangs des observations n’en
seraient pas modifiés. Par contre, les valeurs p des tests de Student et de Welch
ont sensiblement augmenté (avec respectivement p = 0.19 et p = 0.18). En effet, bien que l’estimation de la différence de moyenne entre hommes et femmes
préhistoriques s’en trouve augmentée (de 12.0 cm à 28.7 cm), il en est de même
de l’estimation de la variabilité, ce qui atténue la statistique de test de ces tests.
Cela illustre le fait que les tests de Welch et de Student risquent de manquer de
puissance en présence ne serait-ce que d’une seule valeur extrême ou aberrante.
11.8 Test de Wilcoxon
Le test de Wilcoxon (en anglais : Wilcoxon signed rank test) est une
variante du test de Mann-Whitney que l’on peut appliquer aux données pairées de deux variables quantitatives Y 1 et Y 0 , et que l’on voit brièvement ici.
Formellement, l’hypothèse nulle que l’on considère est la suivante :
H 0 : les distributions de Y 1 et Y 0 sont identiques.
Dans le cas où l’on suppose un modèle d’ordonnance stochastique, on pourra
considérer l’hypothèse nulle équivalente :
H 0 : Δ = 0
où Δ = μ 1 − μ 0 dénote la différence des moyennes des variables Y 1 et Y 0 , et
conclure dans le cas d’un résultat significatif Δ < 0 ou Δ > 0 selon le signe de
la statistique de test. Cette dernière se calcule de la manière suivante (à partir
d’observations de la variable Y = Y 1 − Y 0 ) :
• on élimine les différences nulles (les observations pour lesquelles Y = 0 ;
il n’y en aura pas si les variables sont vraiment continues) et on note par
n le nombre de différences non nulles
• on établit les rangs des différences non nulles selon leurs valeurs absolues
• on calcule la somme w des rangs ci-dessus correspondant aux différences
positives
• on calcule la statistique de test suivante :
t stat =
24
n(n + 1)(2n + 1)
·
w −
n(n + 1)
4
.
La distribution exacte de T stat sous H 0 est connue et proche d’une distribution
normale standardisée.
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bien que ce dernier ne soit pas significatif au seuil de 5%. Si on remplaçait par
erreur le plus grand des hommes préhistoriques de notre échantillon qui mesurait 130 cm par la valeur aberrante de 230 cm, le résultat du test de MannWhitney n’en serait pas affecté (p = 0.04) car les rangs des observations n’en
seraient pas modifiés. Par contre, les valeurs p des tests de Student et de Welch
ont sensiblement augmenté (avec respectivement p = 0.19 et p = 0.18). En effet, bien que l’estimation de la différence de moyenne entre hommes et femmes
préhistoriques s’en trouve augmentée (de 12.0 cm à 28.7 cm), il en est de même
de l’estimation de la variabilité, ce qui atténue la statistique de test de ces tests.
Cela illustre le fait que les tests de Welch et de Student risquent de manquer de
puissance en présence ne serait-ce que d’une seule valeur extrême ou aberrante.
11.8 Test de Wilcoxon
Le test de Wilcoxon (en anglais : Wilcoxon signed rank test) est une
variante du test de Mann-Whitney que l’on peut appliquer aux données pairées de deux variables quantitatives Y 1 et Y 0 , et que l’on voit brièvement ici.
Formellement, l’hypothèse nulle que l’on considère est la suivante :
H 0 : les distributions de Y 1 et Y 0 sont identiques.
Dans le cas où l’on suppose un modèle d’ordonnance stochastique, on pourra
considérer l’hypothèse nulle équivalente :
H 0 : Δ = 0
où Δ = μ 1 − μ 0 dénote la différence des moyennes des variables Y 1 et Y 0 , et
conclure dans le cas d’un résultat significatif Δ < 0 ou Δ > 0 selon le signe de
la statistique de test. Cette dernière se calcule de la manière suivante (à partir
d’observations de la variable Y = Y 1 − Y 0 ) :
• on élimine les différences nulles (les observations pour lesquelles Y = 0 ;
il n’y en aura pas si les variables sont vraiment continues) et on note par
n le nombre de différences non nulles
• on établit les rangs des différences non nulles selon leurs valeurs absolues
• on calcule la somme w des rangs ci-dessus correspondant aux différences
positives
• on calcule la statistique de test suivante :
t stat =
24
n(n + 1)(2n + 1)
·
w −
n(n + 1)
4
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La distribution exacte de T stat sous H 0 est connue et proche d’une distribution
normale standardisée.