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Statistique appliquée aux sciences de la vie
seuil réel. Afin d’être valide, la puissance du test doit être approximativement
de 5 % lorsque Δ = 0. On obtient les résultats suivants :
(a) modèle idéal (normalité et même variance) : théoriquement, le test
de Student est le plus puissant des trois, mais pratiquement, les différences
sont minimes entre les trois tests
(b) modèle avec distributions normales de variances différentes : le
graphique confirme que les tests de Student et de Mann-Whitney sont ici
non valides (seuil réel nettement plus grand que 5 %), le test de Welch
étant donc le seul choix possible ici
(c) modèle d’ordonnance stochastique et distributions asymétriques :
les trois tests sont valides, le test de Mann-Whitney est le plus puissant
(d) modèle d’ordonnance stochastique avec valeurs extrêmes : les trois
tests sont valides, le test de Mann-Whitney est le plus puissant.
Des simulations incluant d’autres modèles et d’autres tailles d’échantillon confirmeront ces tendances générales. Nos conclusions sont ainsi les suivantes :
• si on ne veut faire aucune hypothèse, on choisira le test de Welch qui
a l’avantage de la validité (seule restriction : ce test n’est pas valide
dans des cas où l’on a à la fois des petits échantillons et des distributions
non normales ; à vérifier par simulations en cas de doutes)
• si on peut faire l’hypothèse d’un modèle d’ordonnance stochastique, on
pourra choisir le test de Mann-Whitney qui a l’avantage de la puissance (sans que l’on ait besoin de nous soucier de la forme des distributions, ni des valeurs aberrantes)
• si notre analyse risque d’être complexe (par exemple, lorsqu’elle nécessite des ajustements pour des variables confondantes), on aura intérêt
à rechercher le modèle idéal (en transformant les données, en éliminant
les valeurs aberrantes) et à utiliser le test de Student qui, outre le
fait d’être exact et puissant sous le modèle idéal (y compris avec peu
d’observations), a l’avantage de la généralisation (il s’inscrit dans le
contexte plus général des modèles de régression qui vont au-delà de la
simple comparaison entre deux groupes, comme on le verra au chapitre
15).
Exemple 11.12 Nous reprenons l’exemple de la comparaison des tailles des
hommes et des femmes préhistoriques. Avec un test de Mann-Whitney, on avait
réussi à démontrer statistiquement que les hommes préhistoriques étaient plus
grands que les femmes préhistoriques (p = 0.04). On obtient un résultat semblable avec un test de Student (p = 0.03) ou avec un test de Welch (p = 0.06),
Statistique appliquée aux sciences de la vie
seuil réel. Afin d’être valide, la puissance du test doit être approximativement
de 5 % lorsque Δ = 0. On obtient les résultats suivants :
(a) modèle idéal (normalité et même variance) : théoriquement, le test
de Student est le plus puissant des trois, mais pratiquement, les différences
sont minimes entre les trois tests
(b) modèle avec distributions normales de variances différentes : le
graphique confirme que les tests de Student et de Mann-Whitney sont ici
non valides (seuil réel nettement plus grand que 5 %), le test de Welch
étant donc le seul choix possible ici
(c) modèle d’ordonnance stochastique et distributions asymétriques :
les trois tests sont valides, le test de Mann-Whitney est le plus puissant
(d) modèle d’ordonnance stochastique avec valeurs extrêmes : les trois
tests sont valides, le test de Mann-Whitney est le plus puissant.
Des simulations incluant d’autres modèles et d’autres tailles d’échantillon confirmeront ces tendances générales. Nos conclusions sont ainsi les suivantes :
• si on ne veut faire aucune hypothèse, on choisira le test de Welch qui
a l’avantage de la validité (seule restriction : ce test n’est pas valide
dans des cas où l’on a à la fois des petits échantillons et des distributions
non normales ; à vérifier par simulations en cas de doutes)
• si on peut faire l’hypothèse d’un modèle d’ordonnance stochastique, on
pourra choisir le test de Mann-Whitney qui a l’avantage de la puissance (sans que l’on ait besoin de nous soucier de la forme des distributions, ni des valeurs aberrantes)
• si notre analyse risque d’être complexe (par exemple, lorsqu’elle nécessite des ajustements pour des variables confondantes), on aura intérêt
à rechercher le modèle idéal (en transformant les données, en éliminant
les valeurs aberrantes) et à utiliser le test de Student qui, outre le
fait d’être exact et puissant sous le modèle idéal (y compris avec peu
d’observations), a l’avantage de la généralisation (il s’inscrit dans le
contexte plus général des modèles de régression qui vont au-delà de la
simple comparaison entre deux groupes, comme on le verra au chapitre
15).
Exemple 11.12 Nous reprenons l’exemple de la comparaison des tailles des
hommes et des femmes préhistoriques. Avec un test de Mann-Whitney, on avait
réussi à démontrer statistiquement que les hommes préhistoriques étaient plus
grands que les femmes préhistoriques (p = 0.04). On obtient un résultat semblable avec un test de Student (p = 0.03) ou avec un test de Welch (p = 0.06),