11. Tests exacts avec statistique de test discrète
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−1
0
1
2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
véritable différence
puissance
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(a) normalité même variance (n1=n0=25)
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Mann−Whitney
Student
Welch
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véritable différence
puissance
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(b) normalité variances différentes (n1=40 n0=10)
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Mann−Whitney
Student
Welch
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véritable différence
puissance
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(c) distribution asymétrique (n1=n0=25)
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Mann−Whitney
Student
Welch
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véritable différence
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(d) valeurs extrêmes (n1=n0=25)
●
Mann−Whitney
Student
Welch
Figure 11.6 – Puissance des tests de Welch, Student et Mann-Whitney.
montre sur l’axe vertical la puissance de ces tests (appliqués de façon bilatérale à un seuil nominal de 5 %) estimée à partir de 2000 échantillons générés
selon les modèles suivants : (a) le modèle idéal (distributions normales, même
variance) ; (b) un modèle avec distributions normales de variances différentes ;
(c) et (d) deux modèles d’ordonnance stochastique où les distributions sont
respectivement asymétriques et avec des valeurs extrêmes. Les tailles d’échantillons sont ici n 1 = n 0 = 25 pour les situations (a), (c) et (d), et de n 1 = 40 et
n 0 = 10 pour la situation (b) (où le petit échantillon provient de la distribution
avec la variance la plus grande). Sur l’axe horizontal, la valeur 0 correspond à
des simulations effectuées sous l’hypothèse nulle (Δ = 0), les valeurs négatives
correspondent à des cas avec Δ < 0, les valeurs positives à des cas avec Δ > 0
15 .
Rappelons que la puissance d’un test sous l’hypothèse nulle correspond à son
15 Pour être plus précis, les distributions considérées sont les suivantes : (a) normale avec
moyenne 0 et écart type 1 versus normale avec moyenne d et écart type 1 ; (b) normale avec
moyenne 0 et écart type 1 versus normale avec moyenne 4d et écart type 4 : (c) exponentielle d’une normale avec moyenne 0 et écart type 1 versus exponentielle d’une normale avec
moyenne d et écart type 1 (il s’agit donc de distributions log-normales) ; (d) Student avec
3 dl versus Student avec 3 dl translatée de d. Ce paramètre d utilisé dans les simulations
(entre −2 et +2) est représenté sur l’axe horizontal de la figure 11.6. Il s’agit d’une fonction
monotone de la différence de moyenne Δ. Ainsi, plus la valeur de d est différente de 0, plus
on s’éloigne de l’hypothèse nulle.
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(a) normalité même variance (n1=n0=25)
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Mann−Whitney
Student
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(b) normalité variances différentes (n1=40 n0=10)
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Mann−Whitney
Student
Welch
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(c) distribution asymétrique (n1=n0=25)
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Mann−Whitney
Student
Welch
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(d) valeurs extrêmes (n1=n0=25)
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Mann−Whitney
Student
Welch
Figure 11.6 – Puissance des tests de Welch, Student et Mann-Whitney.
montre sur l’axe vertical la puissance de ces tests (appliqués de façon bilatérale à un seuil nominal de 5 %) estimée à partir de 2000 échantillons générés
selon les modèles suivants : (a) le modèle idéal (distributions normales, même
variance) ; (b) un modèle avec distributions normales de variances différentes ;
(c) et (d) deux modèles d’ordonnance stochastique où les distributions sont
respectivement asymétriques et avec des valeurs extrêmes. Les tailles d’échantillons sont ici n 1 = n 0 = 25 pour les situations (a), (c) et (d), et de n 1 = 40 et
n 0 = 10 pour la situation (b) (où le petit échantillon provient de la distribution
avec la variance la plus grande). Sur l’axe horizontal, la valeur 0 correspond à
des simulations effectuées sous l’hypothèse nulle (Δ = 0), les valeurs négatives
correspondent à des cas avec Δ < 0, les valeurs positives à des cas avec Δ > 0
15 .
Rappelons que la puissance d’un test sous l’hypothèse nulle correspond à son
15 Pour être plus précis, les distributions considérées sont les suivantes : (a) normale avec
moyenne 0 et écart type 1 versus normale avec moyenne d et écart type 1 ; (b) normale avec
moyenne 0 et écart type 1 versus normale avec moyenne 4d et écart type 4 : (c) exponentielle d’une normale avec moyenne 0 et écart type 1 versus exponentielle d’une normale avec
moyenne d et écart type 1 (il s’agit donc de distributions log-normales) ; (d) Student avec
3 dl versus Student avec 3 dl translatée de d. Ce paramètre d utilisé dans les simulations
(entre −2 et +2) est représenté sur l’axe horizontal de la figure 11.6. Il s’agit d’une fonction
monotone de la différence de moyenne Δ. Ainsi, plus la valeur de d est différente de 0, plus
on s’éloigne de l’hypothèse nulle.