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Statistique appliquée aux sciences de la vie
11.7 Comparaison des tests de Welch, Student
et Mann-Whitney
Nous avons introduit dans ce texte trois tests statistiques, les tests de Welch,
de Student et de Mann-Whitney, nous permettant de tester l’hypothèse nulle :
H 0 : Δ = 0
où Δ dénote la différence de moyenne entre deux distributions continues. Une
question qui se pose à présent est de savoir lequel des trois utiliser en pratique
13 .
Dans un choix entre différents tests statistiques, le premier critère considéré
est la validité du test, à savoir le contrôle de l’erreur de première espèce. Parmi
les tests qui seront (approximativement) valides, un second critère sera alors la
puissance du test, afin de minimiser l’erreur de seconde espèce.
Si on a plusieurs tests statistiques à disposition dans un contexte donné,
on choisira le test le plus puissant parmi les tests valides.
En ce qui concerne la validité de ces trois tests, nous avons la situation suivante (du moins lorsque les tailles d’échantillons n 1 et n 0 sont assez grandes)
14 :
test
modèle idéal modèle d’ordonnance
cadre général
stochastique
Welch
valide
valide
valide
Student
exact
valide
non valide
(valide si n1 = n0)
Mann-Whitney
valide
valide
non valide
Parmi ces trois tests, le test de Welch a donc le domaine de validité le plus
large et peut notamment s’appliquer dans des cas où il serait possible d’avoir
deux distributions avec une même moyenne mais des variances différentes. Pour
appliquer le test de Mann-Whitney, il s’agit par contre de faire une hypothèse
supplémentaire, à savoir l’hypothèse d’un modèle d’ordonnance stochastique.
Le test de Student est pour sa part exact sous le modèle idéal et valide sous le
modèle d’ordonnance stochastique.
Sous l’hypothèse d’un modèle d’ordonnance stochastique, les trois tests sont
donc valides et c’est leur puissance qui doit les départager. La figure 11.6 nous
13 On citera à ce sujet un article assez technique de Fay et Proschan (2010) qui illustre la
complexité de cette question apparemment simple.
14 Notons que le test de Mann-Whitney serait exact (bien que conservateur au sens du seuil)
sous le modèle idéal ou le modèle d’ordonnance stochastique si on utilisait la distribution
exacte de la statistique de test sous l’hypothèse nulle.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
11.7 Comparaison des tests de Welch, Student
et Mann-Whitney
Nous avons introduit dans ce texte trois tests statistiques, les tests de Welch,
de Student et de Mann-Whitney, nous permettant de tester l’hypothèse nulle :
H 0 : Δ = 0
où Δ dénote la différence de moyenne entre deux distributions continues. Une
question qui se pose à présent est de savoir lequel des trois utiliser en pratique
13 .
Dans un choix entre différents tests statistiques, le premier critère considéré
est la validité du test, à savoir le contrôle de l’erreur de première espèce. Parmi
les tests qui seront (approximativement) valides, un second critère sera alors la
puissance du test, afin de minimiser l’erreur de seconde espèce.
Si on a plusieurs tests statistiques à disposition dans un contexte donné,
on choisira le test le plus puissant parmi les tests valides.
En ce qui concerne la validité de ces trois tests, nous avons la situation suivante (du moins lorsque les tailles d’échantillons n 1 et n 0 sont assez grandes)
14 :
test
modèle idéal modèle d’ordonnance
cadre général
stochastique
Welch
valide
valide
valide
Student
exact
valide
non valide
(valide si n1 = n0)
Mann-Whitney
valide
valide
non valide
Parmi ces trois tests, le test de Welch a donc le domaine de validité le plus
large et peut notamment s’appliquer dans des cas où il serait possible d’avoir
deux distributions avec une même moyenne mais des variances différentes. Pour
appliquer le test de Mann-Whitney, il s’agit par contre de faire une hypothèse
supplémentaire, à savoir l’hypothèse d’un modèle d’ordonnance stochastique.
Le test de Student est pour sa part exact sous le modèle idéal et valide sous le
modèle d’ordonnance stochastique.
Sous l’hypothèse d’un modèle d’ordonnance stochastique, les trois tests sont
donc valides et c’est leur puissance qui doit les départager. La figure 11.6 nous
13 On citera à ce sujet un article assez technique de Fay et Proschan (2010) qui illustre la
complexité de cette question apparemment simple.
14 Notons que le test de Mann-Whitney serait exact (bien que conservateur au sens du seuil)
sous le modèle idéal ou le modèle d’ordonnance stochastique si on utilisait la distribution
exacte de la statistique de test sous l’hypothèse nulle.