11. Tests exacts avec statistique de test discrète
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ait une valeur plus grande que le second
12 . En effet, la statistique de test d’un
test de Mann-Whitney se calcule à partir de
ψ qui est un estimateur de ψ.
Or sous un modèle d’ordonnance stochastique, l’hypothèse nulle ci-dessus est
également équivalente à l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : ψ = 0.5.
On se retrouve dans la situation d’un test sur la valeur d’un paramètre où l’on
peut procéder de la manière suivante :
• test unilatéral à gauche
→ on rejette H 0 au seuil α si t stat ≤ z α
→ dans le cas d’un rejet de H 0 , on conclut ψ < 0.5 (ou de façon équivalente sous un modèle d’ordonnance stochastique, Δ < 0)
• test unilatéral à droite
→ on rejette H 0 au seuil α si t stat ≥ z 1−α
→ dans le cas d’un rejet de H 0 , on conclut ψ > 0.5 (ou de façon équivalente sous un modèle d’ordonnance stochastique, Δ > 0)
• test bilatéral
→ on rejette H 0 au seuil α si |t stat | ≥ z 1−α/2
→ si on rejette H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
ψ < 0.5), on conclut
ψ < 0.5 (et donc aussi Δ < 0)
→ si on rejette H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
ψ > 0.5), on conclut
ψ > 0.5 (et donc aussi Δ > 0).
Exemple 11.11 Dans notre exemple de la comparaison des tailles des hommes
et femmes préhistoriques, on avait calculé
ψ = 0.87 et t stat = 2.01. On estime
ainsi à 87 % la probabilité qu’un homme préhistorique (pris au hasard dans sa
population) soit plus grand qu’une femme préhistorique (prise au hasard dans
sa population). On avait par ailleurs un résultat significatif au seuil de 5 % car
|t stat | ≥ 1.96, ce qui correspond à un test bilatéral sous un modèle d’ordonnance
stochastique (on peut calculer par ailleurs p = 0.04). Sous un tel modèle, comme
on a en outre
ψ > 0.5, on conclut ψ > 0.5 (et donc Δ > 0). On a ainsi réussi
à montrer statistiquement non seulement que les distributions de la taille des
hommes et des femmes préhistoriques sont différentes, mais que les hommes
préhistoriques sont plus grands que les femmes préhistoriques.
12 Sous le modèle idéal, c’est-à-dire deux distributions normales de même variance, le lecteur
intéressé pourra vérifier que ce paramètre ψ et la différence de moyenne standardisée δ sont
liés par δ =
√
2 · z ψ et ψ = Φ 0,1 (δ/
√
2).
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ait une valeur plus grande que le second
12 . En effet, la statistique de test d’un
test de Mann-Whitney se calcule à partir de
ψ qui est un estimateur de ψ.
Or sous un modèle d’ordonnance stochastique, l’hypothèse nulle ci-dessus est
également équivalente à l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : ψ = 0.5.
On se retrouve dans la situation d’un test sur la valeur d’un paramètre où l’on
peut procéder de la manière suivante :
• test unilatéral à gauche
→ on rejette H 0 au seuil α si t stat ≤ z α
→ dans le cas d’un rejet de H 0 , on conclut ψ < 0.5 (ou de façon équivalente sous un modèle d’ordonnance stochastique, Δ < 0)
• test unilatéral à droite
→ on rejette H 0 au seuil α si t stat ≥ z 1−α
→ dans le cas d’un rejet de H 0 , on conclut ψ > 0.5 (ou de façon équivalente sous un modèle d’ordonnance stochastique, Δ > 0)
• test bilatéral
→ on rejette H 0 au seuil α si |t stat | ≥ z 1−α/2
→ si on rejette H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
ψ < 0.5), on conclut
ψ < 0.5 (et donc aussi Δ < 0)
→ si on rejette H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
ψ > 0.5), on conclut
ψ > 0.5 (et donc aussi Δ > 0).
Exemple 11.11 Dans notre exemple de la comparaison des tailles des hommes
et femmes préhistoriques, on avait calculé
ψ = 0.87 et t stat = 2.01. On estime
ainsi à 87 % la probabilité qu’un homme préhistorique (pris au hasard dans sa
population) soit plus grand qu’une femme préhistorique (prise au hasard dans
sa population). On avait par ailleurs un résultat significatif au seuil de 5 % car
|t stat | ≥ 1.96, ce qui correspond à un test bilatéral sous un modèle d’ordonnance
stochastique (on peut calculer par ailleurs p = 0.04). Sous un tel modèle, comme
on a en outre
ψ > 0.5, on conclut ψ > 0.5 (et donc Δ > 0). On a ainsi réussi
à montrer statistiquement non seulement que les distributions de la taille des
hommes et des femmes préhistoriques sont différentes, mais que les hommes
préhistoriques sont plus grands que les femmes préhistoriques.
12 Sous le modèle idéal, c’est-à-dire deux distributions normales de même variance, le lecteur
intéressé pourra vérifier que ce paramètre ψ et la différence de moyenne standardisée δ sont
liés par δ =
√
2 · z ψ et ψ = Φ 0,1 (δ/
√
2).