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Statistique appliquée aux sciences de la vie
ou autrement dit :
H 0 : F 1 (y) = F 0 (y) pour toute valeur possible y.
À partir de deux échantillons de respectivement n 1 et n 0 observations indépendantes de Y 1 et Y 0 , on calcule la statistique de test de la façon suivante :
• on établit les rangs des observations en fusionnant les deux échantillons
• on calcule la somme w des rangs des observations du premier échantillon
• on standardise cette somme de rangs comme suit :
ψ =
w −
n1(n1+1)
2
n 1 n 0
• on calcule la statistique de test comme suit :
t stat =
12n 1 n 0
n 1 + n 0 + 1
· (
ψ − 0.5).
La distribution de T stat sous H 0 est connue mathématiquement, appelée distribution de Mann-Whitney-Wilcoxon, et disponible dans certains logiciels statistiques. Lorsque n 1 et n 0 sont assez grands, cette distribution est cependant
proche d’une distribution normale standardisée, que l’on utilisera ici comme approximation
10 . On rejettera donc l’hypothèse nulle d’égalité des distributions
au seuil α si la statistique de test calculée t stat est trop extrême par rapport à
une distribution normale standardisée, c’est-à-dire si |t stat | ≥ z 1−α/2 .
Exemple 11.10 On aimerait démontrer que les distributions des tailles des
hommes et des femmes préhistoriques sont différentes et donc rejeter l’hypothèse nulle que ces deux distributions sont identiques. On a mesuré n 1 = 6
hommes préhistoriques et n 0 = 5 femmes préhistoriques, et on a les résultats
suivants (en cm) :
hommes préhistoriques 120 119 130 129 122 124
femmes préhistoriques 118 125 114 102 101
On remplace ces valeurs par leurs rangs et on obtient :
10 En utilisant la distribution exacte, le seuil réel du test sera en général inférieur au seuil
nominal, de sorte que le test de Mann-Whitney sera conservateur au sens du seuil. Pour n 1 =
n 0 = 3, la puissance d’un test de Mann-Whitney bilatéral au seuil de 5 % sera même nulle
(il ne servira donc à rien d’appliquer un test de Mann-Whitney dans pareil cas). Par ailleurs,
des simulations montrent que l’approximation normale de la distribution de la statistique
de test sous l’hypothèse nulle est en général valide à partir d’échantillons aussi petits que
n 1 = n 0 = 4.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
ou autrement dit :
H 0 : F 1 (y) = F 0 (y) pour toute valeur possible y.
À partir de deux échantillons de respectivement n 1 et n 0 observations indépendantes de Y 1 et Y 0 , on calcule la statistique de test de la façon suivante :
• on établit les rangs des observations en fusionnant les deux échantillons
• on calcule la somme w des rangs des observations du premier échantillon
• on standardise cette somme de rangs comme suit :
ψ =
w −
n1(n1+1)
2
n 1 n 0
• on calcule la statistique de test comme suit :
t stat =
12n 1 n 0
n 1 + n 0 + 1
· (
ψ − 0.5).
La distribution de T stat sous H 0 est connue mathématiquement, appelée distribution de Mann-Whitney-Wilcoxon, et disponible dans certains logiciels statistiques. Lorsque n 1 et n 0 sont assez grands, cette distribution est cependant
proche d’une distribution normale standardisée, que l’on utilisera ici comme approximation
10 . On rejettera donc l’hypothèse nulle d’égalité des distributions
au seuil α si la statistique de test calculée t stat est trop extrême par rapport à
une distribution normale standardisée, c’est-à-dire si |t stat | ≥ z 1−α/2 .
Exemple 11.10 On aimerait démontrer que les distributions des tailles des
hommes et des femmes préhistoriques sont différentes et donc rejeter l’hypothèse nulle que ces deux distributions sont identiques. On a mesuré n 1 = 6
hommes préhistoriques et n 0 = 5 femmes préhistoriques, et on a les résultats
suivants (en cm) :
hommes préhistoriques 120 119 130 129 122 124
femmes préhistoriques 118 125 114 102 101
On remplace ces valeurs par leurs rangs et on obtient :
10 En utilisant la distribution exacte, le seuil réel du test sera en général inférieur au seuil
nominal, de sorte que le test de Mann-Whitney sera conservateur au sens du seuil. Pour n 1 =
n 0 = 3, la puissance d’un test de Mann-Whitney bilatéral au seuil de 5 % sera même nulle
(il ne servira donc à rien d’appliquer un test de Mann-Whitney dans pareil cas). Par ailleurs,
des simulations montrent que l’approximation normale de la distribution de la statistique
de test sous l’hypothèse nulle est en général valide à partir d’échantillons aussi petits que
n 1 = n 0 = 4.