11. Tests exacts avec statistique de test discrète
153
• cela peut se faire à l’aide d’un test binomial (ou d’un test du khi-deux
pour une proportion)
• si on rejette H 0 avec par ailleurs
π < 0.5, on conclut π < 0.5 et donc
ν < ν
∗
• si on rejette H 0 avec par ailleurs
π > 0.5, on conclut π > 0.5 et donc
ν > ν
∗ .
Exemple 11.9 Considérons les 11 données fictives suivantes d’une variable Y
continue asymétrique (ordonnées par ordre croissant) :
100 110 200 400 400 800 1500 3000 5000 10 000 42 195
Si notre but est de rejeter l’hypothèse nulle H 0 : ν = 400, on attribue à nos
observations les valeurs suivantes :
−1 −1 −1 0 0 +1 +1 +1 +1 +1 +1
Notre proportion empirique de +1 parmi les 9 valeurs non nulles est de
π =
6/9 = 0.67. Le test du signe consiste à tester l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.5
à l’aide d’un test binomial (ou d’un test du khi-deux pour une proportion). La
statistique de test d’un test binomial est donnée par t stat = 6. Sous l’hypothèse
nulle, la distribution de cette statistique de test est binomiale avec paramètres
n = 9 et π = 0.5, d’où l’on peut calculer p = 0.51 (test bilatéral). Notons que
l’on obtiendrait p = 0.32 avec un test du khi-deux bilatéral pour une proportion.
Dans les deux cas, cela ne suffit pas pour rejeter l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.5
au seuil de 5 %, et on ne rejette donc pas non plus l’hypothèse nulle équivalente
(et qui nous intéresse) H 0 : ν = 400.
11.6 Test de Mann-Whitney
Le test de Mann-Whitney est aussi appelé test de Wilcoxon (ou plus précisément en anglais : Wilcoxon rank sum test)
8 . On considère ici deux variables
continues Y 1 et Y 0 avec fonctions de répartition F 1 (y) et F 0 (y)
9 et l’hypothèse
nulle suivante :
H 0 : les distributions de Y 1 et Y 0 sont identiques
8 En fait, F. Wilcoxon a été le premier à publier une version de ce test en 1945 pour deux
échantillons de même taille, avant l’article conjoint de H.B. Mann et D.R. Whitney publié
en 1947, qui généralisèrent le test aux cas de deux échantillons de tailles différentes.
9 Rappelons que la fonction de répartition d’une variable continue Y est définie par F (y) =
Pr{Y ≤ y}.
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• cela peut se faire à l’aide d’un test binomial (ou d’un test du khi-deux
pour une proportion)
• si on rejette H 0 avec par ailleurs
π < 0.5, on conclut π < 0.5 et donc
ν < ν
∗
• si on rejette H 0 avec par ailleurs
π > 0.5, on conclut π > 0.5 et donc
ν > ν
∗ .
Exemple 11.9 Considérons les 11 données fictives suivantes d’une variable Y
continue asymétrique (ordonnées par ordre croissant) :
100 110 200 400 400 800 1500 3000 5000 10 000 42 195
Si notre but est de rejeter l’hypothèse nulle H 0 : ν = 400, on attribue à nos
observations les valeurs suivantes :
−1 −1 −1 0 0 +1 +1 +1 +1 +1 +1
Notre proportion empirique de +1 parmi les 9 valeurs non nulles est de
π =
6/9 = 0.67. Le test du signe consiste à tester l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.5
à l’aide d’un test binomial (ou d’un test du khi-deux pour une proportion). La
statistique de test d’un test binomial est donnée par t stat = 6. Sous l’hypothèse
nulle, la distribution de cette statistique de test est binomiale avec paramètres
n = 9 et π = 0.5, d’où l’on peut calculer p = 0.51 (test bilatéral). Notons que
l’on obtiendrait p = 0.32 avec un test du khi-deux bilatéral pour une proportion.
Dans les deux cas, cela ne suffit pas pour rejeter l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.5
au seuil de 5 %, et on ne rejette donc pas non plus l’hypothèse nulle équivalente
(et qui nous intéresse) H 0 : ν = 400.
11.6 Test de Mann-Whitney
Le test de Mann-Whitney est aussi appelé test de Wilcoxon (ou plus précisément en anglais : Wilcoxon rank sum test)
8 . On considère ici deux variables
continues Y 1 et Y 0 avec fonctions de répartition F 1 (y) et F 0 (y)
9 et l’hypothèse
nulle suivante :
H 0 : les distributions de Y 1 et Y 0 sont identiques
8 En fait, F. Wilcoxon a été le premier à publier une version de ce test en 1945 pour deux
échantillons de même taille, avant l’article conjoint de H.B. Mann et D.R. Whitney publié
en 1947, qui généralisèrent le test aux cas de deux échantillons de tailles différentes.
9 Rappelons que la fonction de répartition d’une variable continue Y est définie par F (y) =
Pr{Y ≤ y}.