152
Statistique appliquée aux sciences de la vie
méd. B succès méd. B échec
méd. A succès
20
5
25
méd. A échec
13
2
15
33
7
40
Parmi les 40 patients, la différence Y = Y 1 − Y 0 vaut +1 pour 5 patients
(médicament A plus efficace que médicament B), vaut −1 pour 13 patients
(médicament B plus efficace que médicament A) et vaut 0 pour 22 patients
(pas de différence entre les deux médicaments). Parmi les 18 patients avec
une différence non nulle, la proportion empirique de +1 parmi les {+1, −1}
est
π = 5/18 = 0.28. Le test de McNemar consiste à tester l’hypothèse nulle
H 0 : π = 0.5 à l’aide d’un test binomial (ou d’un test du khi-deux pour une
proportion). La statistique de test d’un test binomial est donnée par t stat = 5.
Sous l’hypothèse nulle, la distribution de cette statistique de test est binomiale
avec paramètres n = 18 et π = 0.5, d’où l’on peut calculer p = 0.096 (test
bilatéral). Notons que l’on obtiendrait p = 0.061 avec un test du khi-deux bilatéral pour une proportion. Dans les deux cas, cela ne suffit pas pour rejeter
l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.5 au seuil de 5 %, et on ne peut donc pas conclure
statistiquement à l’efficacité supérieure de l’un des deux médicaments.
11.5 Test du signe
Lorsque l’on s’intéresse à la médiane ν plutôt qu’à la moyenne μ d’une variable continue non normale, on peut vouloir rejeter l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : ν = ν
∗
où ν
∗ est une valeur de référence (donnée par exemple dans la littérature).
On peut alors utiliser un test du signe, dont le test de McNemar est un cas
particulier
7 . Pour ce faire, on attribue tout d’abord à chaque observation de
notre échantillon l’une des 3 valeurs possibles suivantes :
• la valeur +1 aux observations strictement supérieures à ν
∗
• la valeur 0 aux observations égales à ν
∗
• la valeur −1 aux observations strictement inférieures à ν
∗ .
On élimine ensuite les 0 (il n’y en aura pas si la variable Y est vraiment continue) et on note par π la proportion des +1 parmi les {+1, −1} (définie sur la
population). Ainsi :
• rejeter l’hypothèse nulle H 0 : ν = ν
∗ revient à rejeter l’hypothèse nulle
H 0 : π = 0.5
7 Un intervalle de confiance au niveau 1 − α pour la médiane ν s’obtient par ailleurs en
considérant l’ensemble des valeurs ν ∗ non rejetées dans un test du signe bilatéral au seuil α.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
méd. B succès méd. B échec
méd. A succès
20
5
25
méd. A échec
13
2
15
33
7
40
Parmi les 40 patients, la différence Y = Y 1 − Y 0 vaut +1 pour 5 patients
(médicament A plus efficace que médicament B), vaut −1 pour 13 patients
(médicament B plus efficace que médicament A) et vaut 0 pour 22 patients
(pas de différence entre les deux médicaments). Parmi les 18 patients avec
une différence non nulle, la proportion empirique de +1 parmi les {+1, −1}
est
π = 5/18 = 0.28. Le test de McNemar consiste à tester l’hypothèse nulle
H 0 : π = 0.5 à l’aide d’un test binomial (ou d’un test du khi-deux pour une
proportion). La statistique de test d’un test binomial est donnée par t stat = 5.
Sous l’hypothèse nulle, la distribution de cette statistique de test est binomiale
avec paramètres n = 18 et π = 0.5, d’où l’on peut calculer p = 0.096 (test
bilatéral). Notons que l’on obtiendrait p = 0.061 avec un test du khi-deux bilatéral pour une proportion. Dans les deux cas, cela ne suffit pas pour rejeter
l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.5 au seuil de 5 %, et on ne peut donc pas conclure
statistiquement à l’efficacité supérieure de l’un des deux médicaments.
11.5 Test du signe
Lorsque l’on s’intéresse à la médiane ν plutôt qu’à la moyenne μ d’une variable continue non normale, on peut vouloir rejeter l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : ν = ν
∗
où ν
∗ est une valeur de référence (donnée par exemple dans la littérature).
On peut alors utiliser un test du signe, dont le test de McNemar est un cas
particulier
7 . Pour ce faire, on attribue tout d’abord à chaque observation de
notre échantillon l’une des 3 valeurs possibles suivantes :
• la valeur +1 aux observations strictement supérieures à ν
∗
• la valeur 0 aux observations égales à ν
∗
• la valeur −1 aux observations strictement inférieures à ν
∗ .
On élimine ensuite les 0 (il n’y en aura pas si la variable Y est vraiment continue) et on note par π la proportion des +1 parmi les {+1, −1} (définie sur la
population). Ainsi :
• rejeter l’hypothèse nulle H 0 : ν = ν
∗ revient à rejeter l’hypothèse nulle
H 0 : π = 0.5
7 Un intervalle de confiance au niveau 1 − α pour la médiane ν s’obtient par ailleurs en
considérant l’ensemble des valeurs ν ∗ non rejetées dans un test du signe bilatéral au seuil α.