11. Tests exacts avec statistique de test discrète
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On a mentionné qu’avec des données pairées, on observe non seulement les
variables Y 1 et Y 0 mais aussi la variable Y = Y 1 − Y 0 , et ceci pour chaque
individu. On utilise les observations de cette variable Y pour comparer les
distributions de deux variables continues à partir de données pairées. Mais
alors que la différence entre deux variables continues est encore une variable
continue, la différence entre deux variables binaires n’est plus une variable
binaire. Si les variables binaires Y 1 et Y 0 admettent les deux valeurs possibles
1 et 0, la variable Y admet les 3 valeurs possibles : {+1, 0, −1}. Afin d’obtenir
quand même une variable binaire, on éliminera les individus avec Y = 0 et on
notera par π la proportion de +1 parmi les {+1, −1} (définie sur la population).
Cette proportion π n’est pas égale au paramètre d’intérêt Λ, mais on aura tout
de même Λ = 0 si π = 0.5, Λ < 0 si π < 0.5 et Λ > 0 si π > 0.5. Ainsi :
• rejeter l’hypothèse nulle H 0 : Λ = 0 revient à rejeter l’hypothèse nulle
H 0 : π = 0.5
• cela peut se faire à l’aide d’un test binomial (ou d’un test du khi-deux
pour une proportion)
• si on rejette H 0 avec par ailleurs
π < 0.5, on conclut π < 0.5 et donc
Λ < 0
• si on rejette H 0 avec par ailleurs
π > 0.5, on conclut π > 0.5 et donc
Λ > 0.
Un test de McNemar pour données pairées de variables Y 1 et Y 0
est un test binomial sur la proportion de +1 parmi les {+1, −1}
pour la variable Y = Y 1 − Y 0 .
Exemple 11.8 Une étude veut déterminer si un médicament A est plus efficace qu’un médicament B sur une échelle binaire (1 = succès ; 0 = échec). On
considère les variables binaires suivantes :
• Y 1 : efficacité du médicament A
• Y 0 : efficacité du médicament B.
On note respectivement π 1 et π 0 les proportions de succès des médicaments A et
B ; on définit Λ = π 1 − π 0 et on essaie de rejeter l’hypothèse nulle H 0 : Λ = 0
à partir de n 1 observations de Y 1 et n 0 observations de Y 0 . Admettons que
les deux échantillons de données soient mesurés sur le même échantillon de
n 0 = n 1 = 40 patients, de sorte que les données ne sont pas indépendantes
mais pairées. On aura par exemple :
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On a mentionné qu’avec des données pairées, on observe non seulement les
variables Y 1 et Y 0 mais aussi la variable Y = Y 1 − Y 0 , et ceci pour chaque
individu. On utilise les observations de cette variable Y pour comparer les
distributions de deux variables continues à partir de données pairées. Mais
alors que la différence entre deux variables continues est encore une variable
continue, la différence entre deux variables binaires n’est plus une variable
binaire. Si les variables binaires Y 1 et Y 0 admettent les deux valeurs possibles
1 et 0, la variable Y admet les 3 valeurs possibles : {+1, 0, −1}. Afin d’obtenir
quand même une variable binaire, on éliminera les individus avec Y = 0 et on
notera par π la proportion de +1 parmi les {+1, −1} (définie sur la population).
Cette proportion π n’est pas égale au paramètre d’intérêt Λ, mais on aura tout
de même Λ = 0 si π = 0.5, Λ < 0 si π < 0.5 et Λ > 0 si π > 0.5. Ainsi :
• rejeter l’hypothèse nulle H 0 : Λ = 0 revient à rejeter l’hypothèse nulle
H 0 : π = 0.5
• cela peut se faire à l’aide d’un test binomial (ou d’un test du khi-deux
pour une proportion)
• si on rejette H 0 avec par ailleurs
π < 0.5, on conclut π < 0.5 et donc
Λ < 0
• si on rejette H 0 avec par ailleurs
π > 0.5, on conclut π > 0.5 et donc
Λ > 0.
Un test de McNemar pour données pairées de variables Y 1 et Y 0
est un test binomial sur la proportion de +1 parmi les {+1, −1}
pour la variable Y = Y 1 − Y 0 .
Exemple 11.8 Une étude veut déterminer si un médicament A est plus efficace qu’un médicament B sur une échelle binaire (1 = succès ; 0 = échec). On
considère les variables binaires suivantes :
• Y 1 : efficacité du médicament A
• Y 0 : efficacité du médicament B.
On note respectivement π 1 et π 0 les proportions de succès des médicaments A et
B ; on définit Λ = π 1 − π 0 et on essaie de rejeter l’hypothèse nulle H 0 : Λ = 0
à partir de n 1 observations de Y 1 et n 0 observations de Y 0 . Admettons que
les deux échantillons de données soient mesurés sur le même échantillon de
n 0 = n 1 = 40 patients, de sorte que les données ne sont pas indépendantes
mais pairées. On aura par exemple :