11. Tests exacts avec statistique de test discrète
149
On rejette donc l’hypothèse nulle (et on conclut Λ < 0) dans le cas où l’on
observe la première table de contingence ci-dessus (avec a = 0), pour laquelle
on aura la même valeur p dans un test unilatéral à gauche ou dans un test
bilatéral (p = 0.015). Par contre, on ne rejette pas l’hypothèse nulle, ni dans
un test unilatéral ni dans un test bilatéral, dans les cas où l’on observe l’une
des autres tables de contingence.
Exemple 11.7 On veut montrer que la prise d’aspirine chez les rats protège
d’une infection due à une certaine bactérie. On compare deux groupes de rats,
l’un à qui l’on n’a pas donné d’aspirine, l’autre à qui l’on a donné de l’aspirine.
On aimerait rejeter H 0 : Λ = 0 avec Λ = π 1 − π 0 , où π 1 et π 0 dénotent les
proportions d’infection, respectivement dans le groupe sans et avec aspirine.
Dans le groupe sans aspirine, 11 rats sur 12 ont été infectés par la bactérie.
Dans le groupe avec aspirine, seuls 6 rats sur 13 ont été infectés. On a donc
π 1 = 11/12 = 0.92,
π 0 = 6/13 = 0.46,
Λ = 0.92 − 0.46 = 0.46, ainsi que la
table de contingence suivante :
infection pas d’infection
sans aspirine
11
1
avec aspirine
6
7
Notre statistique de test est a = 11. Afin de calculer la valeur p, il s’agit de
considérer toutes les tables de contingence avec n 1 = 12, m 1 = 17 et N = 25
(c’est-à-dire toutes les tables avec 12 rats dans un groupe et 13 dans l’autre, et
avec en tout 17 rats infectés et 8 rats non infectés). Ces tables correspondent
aux valeurs possibles a = 4, 5, · · · , 12. Les probabilités d’observer ces différentes
valeurs possibles sous l’hypothèse nulle sont données ci-dessous
6 :
a
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
Pr{A = a}
0.000
0.010
0.067
0.209
0.327
0.262
0.105
0.019
0.001
Dans un test bilatéral, on calcule la valeur p comme la somme de ces probabilités
qui sont plus petites ou égales à Pr{A = 11} = 0.019, et on obtient :
p = 0.019 + 0.010 + 0.001 + 0.000 = 0.030
de sorte que l’on rejette l’hypothèse nulle H 0 : Λ = 0 au seuil de 5 %. Comme
on a par ailleurs
Λ > 0, on conclut Λ > 0, c’est-à-dire qu’il y a plus d’infections
chez les rats sans aspirine (et donc que l’aspirine protège de l’infection).
Tout comme le test binomial, le test exact de Fisher est en fait conservateur
au sens du seuil. La figure 11.4 nous montre le seuil réel atteint par un test
exact de Fisher selon les tailles n 1 = n 0 d’échantillons, et pour différentes
valeurs de π 1 = π 0 . Le seuil réel atteint par un test du khi-deux pour deux
6 Dans R, on calcule ces probabilités en utilisant la commande dhyper(4:12,17,8,12).
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On rejette donc l’hypothèse nulle (et on conclut Λ < 0) dans le cas où l’on
observe la première table de contingence ci-dessus (avec a = 0), pour laquelle
on aura la même valeur p dans un test unilatéral à gauche ou dans un test
bilatéral (p = 0.015). Par contre, on ne rejette pas l’hypothèse nulle, ni dans
un test unilatéral ni dans un test bilatéral, dans les cas où l’on observe l’une
des autres tables de contingence.
Exemple 11.7 On veut montrer que la prise d’aspirine chez les rats protège
d’une infection due à une certaine bactérie. On compare deux groupes de rats,
l’un à qui l’on n’a pas donné d’aspirine, l’autre à qui l’on a donné de l’aspirine.
On aimerait rejeter H 0 : Λ = 0 avec Λ = π 1 − π 0 , où π 1 et π 0 dénotent les
proportions d’infection, respectivement dans le groupe sans et avec aspirine.
Dans le groupe sans aspirine, 11 rats sur 12 ont été infectés par la bactérie.
Dans le groupe avec aspirine, seuls 6 rats sur 13 ont été infectés. On a donc
π 1 = 11/12 = 0.92,
π 0 = 6/13 = 0.46,
Λ = 0.92 − 0.46 = 0.46, ainsi que la
table de contingence suivante :
infection pas d’infection
sans aspirine
11
1
avec aspirine
6
7
Notre statistique de test est a = 11. Afin de calculer la valeur p, il s’agit de
considérer toutes les tables de contingence avec n 1 = 12, m 1 = 17 et N = 25
(c’est-à-dire toutes les tables avec 12 rats dans un groupe et 13 dans l’autre, et
avec en tout 17 rats infectés et 8 rats non infectés). Ces tables correspondent
aux valeurs possibles a = 4, 5, · · · , 12. Les probabilités d’observer ces différentes
valeurs possibles sous l’hypothèse nulle sont données ci-dessous
6 :
a
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
Pr{A = a}
0.000
0.010
0.067
0.209
0.327
0.262
0.105
0.019
0.001
Dans un test bilatéral, on calcule la valeur p comme la somme de ces probabilités
qui sont plus petites ou égales à Pr{A = 11} = 0.019, et on obtient :
p = 0.019 + 0.010 + 0.001 + 0.000 = 0.030
de sorte que l’on rejette l’hypothèse nulle H 0 : Λ = 0 au seuil de 5 %. Comme
on a par ailleurs
Λ > 0, on conclut Λ > 0, c’est-à-dire qu’il y a plus d’infections
chez les rats sans aspirine (et donc que l’aspirine protège de l’infection).
Tout comme le test binomial, le test exact de Fisher est en fait conservateur
au sens du seuil. La figure 11.4 nous montre le seuil réel atteint par un test
exact de Fisher selon les tailles n 1 = n 0 d’échantillons, et pour différentes
valeurs de π 1 = π 0 . Le seuil réel atteint par un test du khi-deux pour deux
6 Dans R, on calcule ces probabilités en utilisant la commande dhyper(4:12,17,8,12).