11. Tests exacts avec statistique de test discrète
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0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
véritable π π
puissance
π π*=0.3 n=10
khi−deux
binomial
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
véritable π π
puissance
π π*=0.3 n=20
khi−deux
binomial
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
véritable π π
puissance
π π*=0.3 n=30
khi−deux
binomial
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
véritable π π
puissance
π π*=0.3 n=50
khi−deux
binomial
Figure 11.3 – Puissance des tests binomial et du khi-deux au seuil nominal de 5 %.
bilatéral est ici de 7.6 %, alors que le seuil réel d’un test binomial bilatéral était
de 1.1 %. Le test du khi-deux est donc un peu libéral, alors que le test binomial
est dans le même temps conservateur.
À cause du conflit entre erreurs de première et de seconde espèce, il est
important de noter que plus un test sera conservateur moins il sera puissant.
La figure 11.3 nous montre la puissance d’un test binomial en comparaison
avec la puissance d’un test du khi-deux lorsqu’il s’agit d’essayer de rejeter
l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.3 dans un test bilatéral au seuil nominal de 5 %,
selon la véritable valeur de π et selon la taille n de l’échantillon. Rappelons
que la puissance d’un test statistique est égale à son seuil réel (représenté par
une droite horizontale sur ces graphiques) si la véritable valeur de π est égale
à la valeur testée (ici π
∗ = 0.3, représentée par une droite verticale). On voit
en particulier que le test binomial n’est pas du tout puissant avec n = 10 si la
véritable valeur de π est plus petite que la valeur testée π
∗ = 0.3. D’une manière
générale, un test du khi-deux sera souvent plus puissant qu’un test binomial. Le
prix à payer pour ce gain de puissance est que son seuil réel dépassera parfois
un peu le seuil nominal.
Exemple 11.5 Calculons la puissance d’un test binomial et la puissance d’un
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0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
véritable π π
puissance
π π*=0.3 n=10
khi−deux
binomial
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
véritable π π
puissance
π π*=0.3 n=20
khi−deux
binomial
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
véritable π π
puissance
π π*=0.3 n=30
khi−deux
binomial
0.0
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
véritable π π
puissance
π π*=0.3 n=50
khi−deux
binomial
Figure 11.3 – Puissance des tests binomial et du khi-deux au seuil nominal de 5 %.
bilatéral est ici de 7.6 %, alors que le seuil réel d’un test binomial bilatéral était
de 1.1 %. Le test du khi-deux est donc un peu libéral, alors que le test binomial
est dans le même temps conservateur.
À cause du conflit entre erreurs de première et de seconde espèce, il est
important de noter que plus un test sera conservateur moins il sera puissant.
La figure 11.3 nous montre la puissance d’un test binomial en comparaison
avec la puissance d’un test du khi-deux lorsqu’il s’agit d’essayer de rejeter
l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.3 dans un test bilatéral au seuil nominal de 5 %,
selon la véritable valeur de π et selon la taille n de l’échantillon. Rappelons
que la puissance d’un test statistique est égale à son seuil réel (représenté par
une droite horizontale sur ces graphiques) si la véritable valeur de π est égale
à la valeur testée (ici π
∗ = 0.3, représentée par une droite verticale). On voit
en particulier que le test binomial n’est pas du tout puissant avec n = 10 si la
véritable valeur de π est plus petite que la valeur testée π
∗ = 0.3. D’une manière
générale, un test du khi-deux sera souvent plus puissant qu’un test binomial. Le
prix à payer pour ce gain de puissance est que son seuil réel dépassera parfois
un peu le seuil nominal.
Exemple 11.5 Calculons la puissance d’un test binomial et la puissance d’un