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Statistique appliquée aux sciences de la vie
test du khi-deux lorsqu’il s’agit d’essayer de rejeter l’hypothèse nulle H 0 : π =
0.3 dans un test bilatéral au seuil nominal de 5 % à partir d’un échantillon
de taille n = 10, et lorsque la véritable valeur du paramètre testé est π =
0.5. La distribution de K est alors binomiale avec paramètres n = 10 et π =
0.5, représentée dans le graphique du bas de la figure 11.1. En utilisant les
probabilités données sur ce graphique, on peut calculer les puissances suivantes :
• test binomial : on rejette H 0 (et on conclut π > 0.3) si on observe k ≥ 7,
ce qui arrivera (si π = 0.5) avec une probabilité de 0.117 + 0.044 + 0.010 +
0.001 = 17.2 %
• test du khi-deux : on rejette H 0 (et on conclut π > 0.3) si on observe
k ≥ 6, ce qui arrivera (si π = 0.5) avec une probabilité de 0.205 + 0.117 +
0.044 + 0.010 + 0.001 = 37.7 %.
Ainsi, la puissance du test binomial est seulement de 17.2 %, alors que celle du
test du khi-deux est de 37.7 %, ce qui représente une différence non négligeable.
La figure 11.3 a été produite en refaisant de tels calculs pour différentes valeurs
de π et différentes tailles d’échantillon n.
Lorsqu’il s’agit de comparer une proportion avec une valeur de référence
et donc d’essayer de rejeter une hypothèse nulle de la forme H 0 : π = π
∗ ,
on aura ainsi le choix entre le test binomial, qui est conservateur (on est sûr
d’être en dessous du seuil nominal) mais peu puissant, et le test du khi-deux,
qui est parfois un peu libéral (on n’est pas certain d’être en dessous du seuil
nominal) mais plus puissant. Il s’agit là d’un véritable choix et on trouve parmi
les statisticiens des adeptes de chacun de ces deux tests
2 .
On peut également définir un intervalle de confiance pour une proportion
π en dualité avec un test binomial, que l’on retrouve dans la littérature sous le
nom de intervalle de confiance de Clopper-Pearson
3 . Au niveau 1 − α, il s’agit
de l’intervalle qui contient toutes les valeurs π
∗ qui ne sont pas rejetées dans
un test binomial bilatéral au seuil α. Cet intervalle de confiance est parfois dit
exact parce qu’il est en dualité avec un test statistique exact, mais il est en fait
conservateur, au sens où la probabilité que la véritable valeur de π se trouve à
l’intérieur de l’intervalle sera plus grande que 1 − α.
2 Nous recommandons à ce sujet la lecture de l’article d’Agresti et Coull (1998).
3 Un intervalle de confiance de Clopper-Pearson au niveau 1 − α pour π se calcule explicitement comme suit :
"
k
k + (n − k + 1)F 1−α/2,2(n−k+1),2k
;
(k + 1)F 1−α/2,2(k+1),2(n−k)
n − k + (k + 1)F 1−α/2,2(k+1),2(n−k)
#
où k est le nombre de 1 observé dans l’échantillon, et où F 1−α/2,dln,dld est le quantile 1 − α/2
d’une distribution F avec paramètres dln et dld. Comme il est conservateur, cet intervalle sera
parfois bien plus large et donc moins informatif qu’un intervalle de confiance de Wilson. Pour
de petits échantillons, on aura donc le choix entre un intervalle de confiance conservateur et
moins informatif (Clopper-Pearson) et un intervalle de confiance parfois un peu libéral mais
plus informatif (Wilson). Pour de grands échantillons, ces deux intervalles de confiance seront
par contre similaires.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
test du khi-deux lorsqu’il s’agit d’essayer de rejeter l’hypothèse nulle H 0 : π =
0.3 dans un test bilatéral au seuil nominal de 5 % à partir d’un échantillon
de taille n = 10, et lorsque la véritable valeur du paramètre testé est π =
0.5. La distribution de K est alors binomiale avec paramètres n = 10 et π =
0.5, représentée dans le graphique du bas de la figure 11.1. En utilisant les
probabilités données sur ce graphique, on peut calculer les puissances suivantes :
• test binomial : on rejette H 0 (et on conclut π > 0.3) si on observe k ≥ 7,
ce qui arrivera (si π = 0.5) avec une probabilité de 0.117 + 0.044 + 0.010 +
0.001 = 17.2 %
• test du khi-deux : on rejette H 0 (et on conclut π > 0.3) si on observe
k ≥ 6, ce qui arrivera (si π = 0.5) avec une probabilité de 0.205 + 0.117 +
0.044 + 0.010 + 0.001 = 37.7 %.
Ainsi, la puissance du test binomial est seulement de 17.2 %, alors que celle du
test du khi-deux est de 37.7 %, ce qui représente une différence non négligeable.
La figure 11.3 a été produite en refaisant de tels calculs pour différentes valeurs
de π et différentes tailles d’échantillon n.
Lorsqu’il s’agit de comparer une proportion avec une valeur de référence
et donc d’essayer de rejeter une hypothèse nulle de la forme H 0 : π = π
∗ ,
on aura ainsi le choix entre le test binomial, qui est conservateur (on est sûr
d’être en dessous du seuil nominal) mais peu puissant, et le test du khi-deux,
qui est parfois un peu libéral (on n’est pas certain d’être en dessous du seuil
nominal) mais plus puissant. Il s’agit là d’un véritable choix et on trouve parmi
les statisticiens des adeptes de chacun de ces deux tests
2 .
On peut également définir un intervalle de confiance pour une proportion
π en dualité avec un test binomial, que l’on retrouve dans la littérature sous le
nom de intervalle de confiance de Clopper-Pearson
3 . Au niveau 1 − α, il s’agit
de l’intervalle qui contient toutes les valeurs π
∗ qui ne sont pas rejetées dans
un test binomial bilatéral au seuil α. Cet intervalle de confiance est parfois dit
exact parce qu’il est en dualité avec un test statistique exact, mais il est en fait
conservateur, au sens où la probabilité que la véritable valeur de π se trouve à
l’intérieur de l’intervalle sera plus grande que 1 − α.
2 Nous recommandons à ce sujet la lecture de l’article d’Agresti et Coull (1998).
3 Un intervalle de confiance de Clopper-Pearson au niveau 1 − α pour π se calcule explicitement comme suit :
"
k
k + (n − k + 1)F 1−α/2,2(n−k+1),2k
;
(k + 1)F 1−α/2,2(k+1),2(n−k)
n − k + (k + 1)F 1−α/2,2(k+1),2(n−k)
#
où k est le nombre de 1 observé dans l’échantillon, et où F 1−α/2,dln,dld est le quantile 1 − α/2
d’une distribution F avec paramètres dln et dld. Comme il est conservateur, cet intervalle sera
parfois bien plus large et donc moins informatif qu’un intervalle de confiance de Wilson. Pour
de petits échantillons, on aura donc le choix entre un intervalle de confiance conservateur et
moins informatif (Clopper-Pearson) et un intervalle de confiance parfois un peu libéral mais
plus informatif (Wilson). Pour de grands échantillons, ces deux intervalles de confiance seront
par contre similaires.