144
Statistique appliquée aux sciences de la vie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
valeur testée π π*
seuil réel
●
●
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●
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●
●
●
●
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●
●
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●
test du khi−deux
test binomial
n= 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
valeur testée π π*
seuil réel
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●
test du khi−deux
test binomial
n= 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
valeur testée π π*
seuil réel
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●
test du khi−deux
test binomial
n= 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
valeur testée π π*
seuil réel
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●
test du khi−deux
test binomial
n= 50
Figure 11.2 – Seuil réel des tests binomial et du khi-deux au seuil nominal de 5 %.
tests au seuil nominal de 5 % selon différentes valeurs testées π
∗ entre 0 et 1,
et pour différentes tailles d’échantillon n. On voit que le seuil réel du test du
khi-deux oscille aux alentours (et relativement proche) de 5 %, ce test étant
parfois un peu libéral, parfois un peu conservateur selon les valeurs de n et
π
∗ . Par contre, le test binomial est toujours conservateur quelles que soient les
valeurs de n et π
∗ .
Exemple 11.4 On reprend l’exemple où l’on veut rejeter H 0 : π = 0.3 avec
un échantillon de taille n = 10, cette fois-ci à l’aide d’un test du khi-deux. La
statistique de test est donnée par t stat =
√
10(k/10 − 0.3)/
√
0.3 · 0.7, et on aura
ainsi (selon k) :
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
tstat
−2.07
−1.38
−0.69
0.00
0.69
1.38
2.07
2.76
3.45
4.14
4.83
On rejette H 0 dans un test bilatéral au seuil nominal de 5 % si |t stat | ≥ 1.96.
Comme on le voit dans ce tableau, ce sera le cas si on observe k = 0 ou si on
observe k ≥ 6, ce qui arrivera sous H 0 avec une probabilité de 0.028 + 0.037 +
0.009 + 0.001 + 0.000 + 0.000 = 7.6 % (ces probabilités étant données dans le
graphique du haut de la figure 11.1). Ainsi, le seuil réel d’un test du khi-deux
Statistique appliquée aux sciences de la vie
0.0
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0.8
1.0
0.00
0.05
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valeur testée π π*
seuil réel
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test du khi−deux
test binomial
n= 10
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0.10
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valeur testée π π*
seuil réel
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test du khi−deux
test binomial
n= 20
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seuil réel
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test du khi−deux
test binomial
n= 30
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valeur testée π π*
seuil réel
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test du khi−deux
test binomial
n= 50
Figure 11.2 – Seuil réel des tests binomial et du khi-deux au seuil nominal de 5 %.
tests au seuil nominal de 5 % selon différentes valeurs testées π
∗ entre 0 et 1,
et pour différentes tailles d’échantillon n. On voit que le seuil réel du test du
khi-deux oscille aux alentours (et relativement proche) de 5 %, ce test étant
parfois un peu libéral, parfois un peu conservateur selon les valeurs de n et
π
∗ . Par contre, le test binomial est toujours conservateur quelles que soient les
valeurs de n et π
∗ .
Exemple 11.4 On reprend l’exemple où l’on veut rejeter H 0 : π = 0.3 avec
un échantillon de taille n = 10, cette fois-ci à l’aide d’un test du khi-deux. La
statistique de test est donnée par t stat =
√
10(k/10 − 0.3)/
√
0.3 · 0.7, et on aura
ainsi (selon k) :
k
0
1
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5
6
7
8
9
1 0
tstat
−2.07
−1.38
−0.69
0.00
0.69
1.38
2.07
2.76
3.45
4.14
4.83
On rejette H 0 dans un test bilatéral au seuil nominal de 5 % si |t stat | ≥ 1.96.
Comme on le voit dans ce tableau, ce sera le cas si on observe k = 0 ou si on
observe k ≥ 6, ce qui arrivera sous H 0 avec une probabilité de 0.028 + 0.037 +
0.009 + 0.001 + 0.000 + 0.000 = 7.6 % (ces probabilités étant données dans le
graphique du haut de la figure 11.1). Ainsi, le seuil réel d’un test du khi-deux