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Statistique appliquée aux sciences de la vie
On ne pourra donc pas conclure statistiquement (au seuil de 5 %) qu’il y a plus
de corbeaux noirs que de corbeaux blancs si on observe k = 5 corbeaux noirs sur
n = 5 (p = 0.06). On arrivera par contre à une telle conclusion si on observe
k = 6 corbeaux noirs sur n = 6 (p = 0.03).
11.2 Comparaison des tests binomial et du
khi-deux
On a fait au chapitre 4 la distinction entre le niveau nominal et le niveau
réel d’un intervalle de confiance. On va faire ici une distinction similaire entre
le seuil nominal et le seuil réel d’un test statistique. Le seuil nominal d’un test
statistique est la probabilité α désirée de commettre une erreur de première
espèce (que l’on choisit en principe à α = 5 %). Le seuil réel d’un test statistique
est la probabilité réelle de commettre une erreur de première espèce.
Lorsque la statistique de test est continue et que sa distribution sous H 0 est
connue, il sera possible de définir une région de rejet qui correspond exactement
à une probabilité de α, de sorte que le seuil réel coïncide avec le seuil nominal.
Par exemple, dans un test de Student bilatéral pour une moyenne, on rejette
H 0 au seuil α si t stat est plus petit que le quantile α/2, ou si t stat est plus
grand que le quantile 1 − α/2 d’une distribution de Student avec n − 1 dl, de
sorte que la probabilité de rejeter H 0 si H 0 est vraie vaut exactement α (si les
observations sont normales). Cela ne sera par contre pas possible en général
avec une statistique de test discrète, comme illustré dans le graphique du haut
de la figure 11.1, où l’on voit une distribution binomiale avec n = 10 et π = 0.3
(la distribution de la statistique de test sous H 0 pour le test binomial de notre
exemple de la section précédente). On ne pourra pas définir ici de région de
rejet qui correspond exactement à une probabilité de α = 5 % (on définira
une région de rejet qui correspond à une probabilité plus petite que 5 %). Par
conséquent, le seuil réel du test sera en général plus petit que le seuil nominal.
Exemple 11.3 On reprend l’exemple où l’on veut rejeter H 0 : π = 0.3 à l’aide
d’un test binomial et d’un échantillon de taille n = 10. Pour un seuil nominal
de 5 %, on a la situation suivante :
• test unilatéral à gauche : on rejette H 0 si on observe k = 0, ce qui arrivera
sous H 0 avec une probabilité de 2.8 %
• test unilatéral à droite : on rejette H 0 si on observe k ≥ 6, ce qui arrivera
sous H 0 avec une probabilité de 0.037 + 0.009 + 0.001 + 0.000 + 0.000 =
4.6 %
• test bilatéral : on rejette H 0 si on observe k ≥ 7, ce qui arrivera sous H 0
avec une probabilité de 0.009 + 0.001 + 0.000 + 0.000 = 1.1 %.
Le seuil réel du test sera donc de 2.8 %, 4.6 % ou 1.1 % selon que l’on utilise
un test unilatéral à gauche, un test unilatéral à droite ou un test bilatéral. Dans
Statistique appliquée aux sciences de la vie
On ne pourra donc pas conclure statistiquement (au seuil de 5 %) qu’il y a plus
de corbeaux noirs que de corbeaux blancs si on observe k = 5 corbeaux noirs sur
n = 5 (p = 0.06). On arrivera par contre à une telle conclusion si on observe
k = 6 corbeaux noirs sur n = 6 (p = 0.03).
11.2 Comparaison des tests binomial et du
khi-deux
On a fait au chapitre 4 la distinction entre le niveau nominal et le niveau
réel d’un intervalle de confiance. On va faire ici une distinction similaire entre
le seuil nominal et le seuil réel d’un test statistique. Le seuil nominal d’un test
statistique est la probabilité α désirée de commettre une erreur de première
espèce (que l’on choisit en principe à α = 5 %). Le seuil réel d’un test statistique
est la probabilité réelle de commettre une erreur de première espèce.
Lorsque la statistique de test est continue et que sa distribution sous H 0 est
connue, il sera possible de définir une région de rejet qui correspond exactement
à une probabilité de α, de sorte que le seuil réel coïncide avec le seuil nominal.
Par exemple, dans un test de Student bilatéral pour une moyenne, on rejette
H 0 au seuil α si t stat est plus petit que le quantile α/2, ou si t stat est plus
grand que le quantile 1 − α/2 d’une distribution de Student avec n − 1 dl, de
sorte que la probabilité de rejeter H 0 si H 0 est vraie vaut exactement α (si les
observations sont normales). Cela ne sera par contre pas possible en général
avec une statistique de test discrète, comme illustré dans le graphique du haut
de la figure 11.1, où l’on voit une distribution binomiale avec n = 10 et π = 0.3
(la distribution de la statistique de test sous H 0 pour le test binomial de notre
exemple de la section précédente). On ne pourra pas définir ici de région de
rejet qui correspond exactement à une probabilité de α = 5 % (on définira
une région de rejet qui correspond à une probabilité plus petite que 5 %). Par
conséquent, le seuil réel du test sera en général plus petit que le seuil nominal.
Exemple 11.3 On reprend l’exemple où l’on veut rejeter H 0 : π = 0.3 à l’aide
d’un test binomial et d’un échantillon de taille n = 10. Pour un seuil nominal
de 5 %, on a la situation suivante :
• test unilatéral à gauche : on rejette H 0 si on observe k = 0, ce qui arrivera
sous H 0 avec une probabilité de 2.8 %
• test unilatéral à droite : on rejette H 0 si on observe k ≥ 6, ce qui arrivera
sous H 0 avec une probabilité de 0.037 + 0.009 + 0.001 + 0.000 + 0.000 =
4.6 %
• test bilatéral : on rejette H 0 si on observe k ≥ 7, ce qui arrivera sous H 0
avec une probabilité de 0.009 + 0.001 + 0.000 + 0.000 = 1.1 %.
Le seuil réel du test sera donc de 2.8 %, 4.6 % ou 1.1 % selon que l’on utilise
un test unilatéral à gauche, un test unilatéral à droite ou un test bilatéral. Dans