11. Tests exacts avec statistique de test discrète
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Exemple 11.1 Nous illustrons ici le test binomial dans le cas d’un échantillon
de taille n = 10, où l’on veut rejeter l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.3 (on considère
donc π
∗ = 0.3). La distribution de la statistique de test sous H 0 est binomiale
avec paramètres 10 et 0.3. Les valeurs possibles et leurs probabilités d’occurrence
sont données dans les deux premières colonnes du tableau ci-dessous
1 . À partir
de ces probabilités, on peut facilement calculer les valeurs p que l’on obtient
dans un test unilatéral à gauche, un test unilatéral à droite ou un test bilatéral,
qui sont données dans les trois dernières colonnes du tableau.
tstat = k Pr{K = k} p unilatéral gauche p unilatéral droite p bilatéral
0
0 .028
0.028
1.000
0.056
1
0 .121
0.149
0.972
0.299
2
0 .233
0.383
0.851
0.766
3
0 .267
0.650
0.617
1.000
4
0 .200
0.850
0.350
0.701
5
0 .103
0.953
0.150
0.301
6
0 .037
0.989
0.047
0.095
7
0 .009
0.998
0.011
0.021
8
0 .001
1.000
0.002
0.003
9
0 .000
1.000
0.000
0.000
10
0.000
1.000
0.000
0.000
Dans cet exemple, on adopte ainsi les règles de rejet suivantes :
• on rejette H 0 dans un test unilatéral à gauche au seuil de 5 % si on
observe k = 0 (auquel cas on conclut π < 0.3)
• on rejette H 0 dans un test unilatéral à droite au seuil de 5 % si on observe
k ≥ 6 (auquel cas on conclut π > 0.3)
• on rejette H 0 dans un test bilatéral au seuil de 5 % si on observe k ≥ 7
(auquel cas on conclut π > 0.3).
Notons qu’avec n = 10, il sera impossible de rejeter H 0 dans un test bilatéral
au seuil de 5 % et de conclure π < 0.3 (la puissance d’un test binomial bilatéral
sera donc nulle pour montrer π < 0.3 à partir d’un échantillon de taille n = 10).
Exemple 11.2 On aimerait montrer qu’il y a plus de corbeaux noirs que de
corbeaux blancs, autrement dit on aimerait rejeter H 0 : π = 0.5, où π dénote
la proportion de corbeaux noirs. Si on utilise un test binomial bilatéral et si on
observe 100 % de corbeaux noirs dans notre échantillon (c’est-à-dire k = n),
on aura p = 1/2
n−1 et donc les valeurs p suivantes (selon n) :
n 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p 1 0.5 0.25 0.125 0.06 0.03 0.016 0.008 0.004 0.002
1 Dans R, on calcule ces probabilités en utilisant la commande dbinom(0:10,10,0.3).
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Exemple 11.1 Nous illustrons ici le test binomial dans le cas d’un échantillon
de taille n = 10, où l’on veut rejeter l’hypothèse nulle H 0 : π = 0.3 (on considère
donc π
∗ = 0.3). La distribution de la statistique de test sous H 0 est binomiale
avec paramètres 10 et 0.3. Les valeurs possibles et leurs probabilités d’occurrence
sont données dans les deux premières colonnes du tableau ci-dessous
1 . À partir
de ces probabilités, on peut facilement calculer les valeurs p que l’on obtient
dans un test unilatéral à gauche, un test unilatéral à droite ou un test bilatéral,
qui sont données dans les trois dernières colonnes du tableau.
tstat = k Pr{K = k} p unilatéral gauche p unilatéral droite p bilatéral
0
0 .028
0.028
1.000
0.056
1
0 .121
0.149
0.972
0.299
2
0 .233
0.383
0.851
0.766
3
0 .267
0.650
0.617
1.000
4
0 .200
0.850
0.350
0.701
5
0 .103
0.953
0.150
0.301
6
0 .037
0.989
0.047
0.095
7
0 .009
0.998
0.011
0.021
8
0 .001
1.000
0.002
0.003
9
0 .000
1.000
0.000
0.000
10
0.000
1.000
0.000
0.000
Dans cet exemple, on adopte ainsi les règles de rejet suivantes :
• on rejette H 0 dans un test unilatéral à gauche au seuil de 5 % si on
observe k = 0 (auquel cas on conclut π < 0.3)
• on rejette H 0 dans un test unilatéral à droite au seuil de 5 % si on observe
k ≥ 6 (auquel cas on conclut π > 0.3)
• on rejette H 0 dans un test bilatéral au seuil de 5 % si on observe k ≥ 7
(auquel cas on conclut π > 0.3).
Notons qu’avec n = 10, il sera impossible de rejeter H 0 dans un test bilatéral
au seuil de 5 % et de conclure π < 0.3 (la puissance d’un test binomial bilatéral
sera donc nulle pour montrer π < 0.3 à partir d’un échantillon de taille n = 10).
Exemple 11.2 On aimerait montrer qu’il y a plus de corbeaux noirs que de
corbeaux blancs, autrement dit on aimerait rejeter H 0 : π = 0.5, où π dénote
la proportion de corbeaux noirs. Si on utilise un test binomial bilatéral et si on
observe 100 % de corbeaux noirs dans notre échantillon (c’est-à-dire k = n),
on aura p = 1/2
n−1 et donc les valeurs p suivantes (selon n) :
n 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p 1 0.5 0.25 0.125 0.06 0.03 0.016 0.008 0.004 0.002
1 Dans R, on calcule ces probabilités en utilisant la commande dbinom(0:10,10,0.3).