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Statistique appliquée aux sciences de la vie
discrète dont la distribution est définie par l’ensemble des probabilités Pr{K =
k} pour les n + 1 valeurs possibles k = 0, 1, · · · , n, où k dénote la réalisation
de la variable aléatoire K dans notre échantillon. Il se trouve que l’on connaît
mathématiquement la distribution de cette statistique de test sous H 0 : il s’agit
d’une distribution binomiale avec paramètres n et π
∗ . Un test binomial est donc
un test exact.
Comme l’hypothèse nulle d’un test binomial fait intervenir la valeur d’un
paramètre, on pourra faire la distinction entre un test unilatéral et un test
bilatéral. Dans le cas d’un test unilatéral, on procédera de manière similaire à
ce que l’on a vu avec une statistique de test continue :
• test unilatéral à gauche
→ la valeur p est définie par p = Pr{T stat ≤ t stat }, c’est-à-dire par
p = Pr{K ≤ k}
→ on rejette H 0 au seuil α si p ≤ α, c’est-à-dire si Pr{K ≤ k} ≤ α,
auquel cas on conclut π < π
∗
• test unilatéral à droite
→ la valeur p est définie par p = Pr{T stat ≥ t stat }, c’est-à-dire par
p = Pr{K ≥ k}
→ on rejette H 0 au seuil α si p ≤ α, c’est-à-dire si Pr{K ≥ k} ≤ α,
auquel cas on conclut π > π
∗ .
La définition de la valeur p, et la décision de rejeter ou de ne pas rejeter l’hypothèse nulle dans le cas d’un test bilatéral, ne va par contre pas de soi car la
distribution de la statistique de test sous H 0 n’est en général pas symétrique
(sauf dans le cas particulier π
∗ = 0.5). En fait, on utilisera la même règle que
celle vue avec une statistique de test continue, à savoir on doublera la plus
petite des deux valeurs p obtenues avec des tests unilatéraux. Ainsi :
• test bilatéral
→ la valeur p est définie comme le double de la plus petite des deux
valeurs p obtenues avec des tests unilatéraux à gauche et à droite
→ on rejette H 0 au seuil α si p ≤ α
→ on rejette ainsi H 0 au seuil α si Pr{K ≤ k} ≤ α/2 ou si Pr{K ≥ k} ≤
α/2
→ les cas où l’on rejette H 0 à cause de Pr{K ≤ k} ≤ α/2 sont des cas
où
π < π
∗ , et on conclut donc π < π
∗
→ les cas où l’on rejette H 0 à cause de Pr{K ≥ k} ≤ α/2 sont des cas
où
π > π
∗ , et on conclut donc π > π
∗ .
Statistique appliquée aux sciences de la vie
discrète dont la distribution est définie par l’ensemble des probabilités Pr{K =
k} pour les n + 1 valeurs possibles k = 0, 1, · · · , n, où k dénote la réalisation
de la variable aléatoire K dans notre échantillon. Il se trouve que l’on connaît
mathématiquement la distribution de cette statistique de test sous H 0 : il s’agit
d’une distribution binomiale avec paramètres n et π
∗ . Un test binomial est donc
un test exact.
Comme l’hypothèse nulle d’un test binomial fait intervenir la valeur d’un
paramètre, on pourra faire la distinction entre un test unilatéral et un test
bilatéral. Dans le cas d’un test unilatéral, on procédera de manière similaire à
ce que l’on a vu avec une statistique de test continue :
• test unilatéral à gauche
→ la valeur p est définie par p = Pr{T stat ≤ t stat }, c’est-à-dire par
p = Pr{K ≤ k}
→ on rejette H 0 au seuil α si p ≤ α, c’est-à-dire si Pr{K ≤ k} ≤ α,
auquel cas on conclut π < π
∗
• test unilatéral à droite
→ la valeur p est définie par p = Pr{T stat ≥ t stat }, c’est-à-dire par
p = Pr{K ≥ k}
→ on rejette H 0 au seuil α si p ≤ α, c’est-à-dire si Pr{K ≥ k} ≤ α,
auquel cas on conclut π > π
∗ .
La définition de la valeur p, et la décision de rejeter ou de ne pas rejeter l’hypothèse nulle dans le cas d’un test bilatéral, ne va par contre pas de soi car la
distribution de la statistique de test sous H 0 n’est en général pas symétrique
(sauf dans le cas particulier π
∗ = 0.5). En fait, on utilisera la même règle que
celle vue avec une statistique de test continue, à savoir on doublera la plus
petite des deux valeurs p obtenues avec des tests unilatéraux. Ainsi :
• test bilatéral
→ la valeur p est définie comme le double de la plus petite des deux
valeurs p obtenues avec des tests unilatéraux à gauche et à droite
→ on rejette H 0 au seuil α si p ≤ α
→ on rejette ainsi H 0 au seuil α si Pr{K ≤ k} ≤ α/2 ou si Pr{K ≥ k} ≤
α/2
→ les cas où l’on rejette H 0 à cause de Pr{K ≤ k} ≤ α/2 sont des cas
où
π < π
∗ , et on conclut donc π < π
∗
→ les cas où l’on rejette H 0 à cause de Pr{K ≥ k} ≤ α/2 sont des cas
où
π > π
∗ , et on conclut donc π > π
∗ .