Chapitre 11
Tests exacts avec statistique
de test discrète
Un test statistique est dit exact si on connaît mathématiquement (et si
on utilise effectivement) la distribution de la statistique de test sous H 0 . Par
exemple, le test de Student pour une moyenne est un test exact sous l’hypothèse de normalité, alors que le test de Student pour une différence de moyenne
est un test exact sous le modèle idéal. Par contre, les tests du khi-deux et de
Wald ne sont pas des tests exacts car la distribution de la statistique de test
utilisée sous H 0 (une distribution du khi-deux, respectivement une distribution
normale standardisée) n’est qu’une approximation de la distribution théorique.
Notons que la statistique de test d’un test de Student est une variable aléatoire
continue. Dans ce chapitre, nous allons introduire des tests exacts où la statistique de test sera une variable aléatoire discrète, à savoir le test binomial, le test
exact de Fisher, le test de McNemar, le test du signe, le test de Mann-Whitney
et le test de Wilcoxon. Alors que les tests exacts avec statistique de test continue sont également exacts au sens du contrôle de l’erreur de première espèce
(seuil réel = seuil nominal), on va voir que les tests exacts avec statistique de
test discrète sont en fait conservateurs (seuil réel < seuil nominal).
11.1 Test binomial pour une proportion
Le test binomial est une alternative au test du khi-deux lorsque l’on désire
comparer une proportion π avec une valeur de référence π
∗ , c’est-à-dire lorsqu’il
s’agit d’essayer de rejeter l’hypothèse nulle :
H 0 : π = π
∗ .
La statistique de test d’un test binomial est donnée par T stat = K, où K est
le nombre de 1 dans l’échantillon (on a donc K = n π, où n est la taille de
l’échantillon et
π la proportion empirique). Il s’agit d’une variable aléatoire
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Tests exacts avec statistique
de test discrète
Un test statistique est dit exact si on connaît mathématiquement (et si
on utilise effectivement) la distribution de la statistique de test sous H 0 . Par
exemple, le test de Student pour une moyenne est un test exact sous l’hypothèse de normalité, alors que le test de Student pour une différence de moyenne
est un test exact sous le modèle idéal. Par contre, les tests du khi-deux et de
Wald ne sont pas des tests exacts car la distribution de la statistique de test
utilisée sous H 0 (une distribution du khi-deux, respectivement une distribution
normale standardisée) n’est qu’une approximation de la distribution théorique.
Notons que la statistique de test d’un test de Student est une variable aléatoire
continue. Dans ce chapitre, nous allons introduire des tests exacts où la statistique de test sera une variable aléatoire discrète, à savoir le test binomial, le test
exact de Fisher, le test de McNemar, le test du signe, le test de Mann-Whitney
et le test de Wilcoxon. Alors que les tests exacts avec statistique de test continue sont également exacts au sens du contrôle de l’erreur de première espèce
(seuil réel = seuil nominal), on va voir que les tests exacts avec statistique de
test discrète sont en fait conservateurs (seuil réel < seuil nominal).
11.1 Test binomial pour une proportion
Le test binomial est une alternative au test du khi-deux lorsque l’on désire
comparer une proportion π avec une valeur de référence π
∗ , c’est-à-dire lorsqu’il
s’agit d’essayer de rejeter l’hypothèse nulle :
H 0 : π = π
∗ .
La statistique de test d’un test binomial est donnée par T stat = K, où K est
le nombre de 1 dans l’échantillon (on a donc K = n π, où n est la taille de
l’échantillon et
π la proportion empirique). Il s’agit d’une variable aléatoire
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