10. Calcul de taille d’échantillon
137
1 − β = Φ 0,1
z α/2
π ∗ (1 − π ∗ ) −
√
n(π − π
∗ )
π(1 − π)
+Φ 0,1
z α/2
π ∗ (1 − π ∗ ) +
√
n(π − π
∗ )
π(1 − π)
→ taille d’échantillon n nécessaire pour atteindre une puissance 1 − β :
n =
z 1−α/2
π ∗ (1 − π ∗ ) + z 1−β
π(1 − π)
2
(π − π ∗ ) 2
→ il s’agit de faire une hypothèse sur la véritable valeur de π.
Exemple 10.4 Le tableau ci-dessous contient quelques exemples de calcul de
taille d’échantillon pour un test du khi-deux pour deux proportions en fonction
de diverses valeurs hypothétiques de π 1 et π 0 , afin d’atteindre une puissance de
80 % (en dessous de la diagonale) ou 90 % (au-dessus de la diagonale) au seuil
de 5 %. Rappelons qu’un test du khi-deux n’est pas tout à fait valide si n est
trop petit ou si π 1 et π 0 sont trop proches de 0 ou de 1, en principe lorsque nπ
ou n(1 − π) est inférieur à 5 (avec donc π = (π 1 + π 0 )/2). Dans ces cas-là, la
taille d’échantillon calculée est donnée entre parenthèses.
π 0
π 1
0.1
0.2
0.3 0.4 0.5 0.6
0.7
0.8 0.9
0.1
266
82
42
26
17 (12) (9) (6)
0.2 199
392 109 52
30
19
13
(9)
0.3
62
294
477 124 56
31
19
12
0.4
32
82
356
519 130
56
30
17
0.5
20
39
93 388
519 124
52
26
0.6 (14)
23
42
97 388
477 109 42
0.7 (10)
15
24
42
93 356
392 82
0.8 (7) (10) 15
23
39
82
294
266
0.9 (5)
(7)
10
14
20
32
62
199
Si on veut par exemple démontrer statistiquement à l’aide d’un test du khi-deux
pour deux proportions que l’efficacité d’un médicament A (mesurée sur une
échelle binaire : 1 = succès ; 0 = échec) est supérieure à celle d’un médicament
B à partir de deux échantillons de n 1 = n 0 = n patients, et si on postule une
efficacité de 70 % pour le médicament A et de 50 % pour le médicament B, il
s’agit d’inclure deux groupes de n = 93 patients pour atteindre une puissance
de 80 % et deux groupes de n = 124 patients pour atteindre une puissance de
90 %.
137
1 − β = Φ 0,1
z α/2
π ∗ (1 − π ∗ ) −
√
n(π − π
∗ )
π(1 − π)
+Φ 0,1
z α/2
π ∗ (1 − π ∗ ) +
√
n(π − π
∗ )
π(1 − π)
→ taille d’échantillon n nécessaire pour atteindre une puissance 1 − β :
n =
z 1−α/2
π ∗ (1 − π ∗ ) + z 1−β
π(1 − π)
2
(π − π ∗ ) 2
→ il s’agit de faire une hypothèse sur la véritable valeur de π.
Exemple 10.4 Le tableau ci-dessous contient quelques exemples de calcul de
taille d’échantillon pour un test du khi-deux pour deux proportions en fonction
de diverses valeurs hypothétiques de π 1 et π 0 , afin d’atteindre une puissance de
80 % (en dessous de la diagonale) ou 90 % (au-dessus de la diagonale) au seuil
de 5 %. Rappelons qu’un test du khi-deux n’est pas tout à fait valide si n est
trop petit ou si π 1 et π 0 sont trop proches de 0 ou de 1, en principe lorsque nπ
ou n(1 − π) est inférieur à 5 (avec donc π = (π 1 + π 0 )/2). Dans ces cas-là, la
taille d’échantillon calculée est donnée entre parenthèses.
π 0
π 1
0.1
0.2
0.3 0.4 0.5 0.6
0.7
0.8 0.9
0.1
266
82
42
26
17 (12) (9) (6)
0.2 199
392 109 52
30
19
13
(9)
0.3
62
294
477 124 56
31
19
12
0.4
32
82
356
519 130
56
30
17
0.5
20
39
93 388
519 124
52
26
0.6 (14)
23
42
97 388
477 109 42
0.7 (10)
15
24
42
93 356
392 82
0.8 (7) (10) 15
23
39
82
294
266
0.9 (5)
(7)
10
14
20
32
62
199
Si on veut par exemple démontrer statistiquement à l’aide d’un test du khi-deux
pour deux proportions que l’efficacité d’un médicament A (mesurée sur une
échelle binaire : 1 = succès ; 0 = échec) est supérieure à celle d’un médicament
B à partir de deux échantillons de n 1 = n 0 = n patients, et si on postule une
efficacité de 70 % pour le médicament A et de 50 % pour le médicament B, il
s’agit d’inclure deux groupes de n = 93 patients pour atteindre une puissance
de 80 % et deux groupes de n = 124 patients pour atteindre une puissance de
90 %.