10. Calcul de taille d’échantillon
133
distribution normale standardisée :
z α/2 +
n/2 · |δ| = z 1−β .
On obtient dans les deux cas :
n =
2(z 1−α/2 + z 1−β )
2
δ 2
.
Exemple 10.3 Pour atteindre une puissance de 80 %, on utilise la formule
ci-dessus avec z 1−β = z 0.8 = 0.84. Pour atteindre une puissance de 90 %, on
utilise z 1−β = z 0.9 = 1.28. Au seuil de 5 %, on utilise par ailleurs z 1−α/2 =
z 0.975 = 1.96 et la formule est ainsi :
• n = 2(1.96 + 0.84)
2 /δ
2
≈ 16/δ
2 pour atteindre une puissance de 80 %
• n = 2(1.96 + 1.28)
2 /δ
2
≈ 21/δ
2 pour atteindre une puissance de 90 %.
On calcule alors les n suivants selon la valeur postulée de δ :
1 − β |δ| = 1.25 |δ| = 1 |δ| = 0.75 |δ| = 0.5 |δ| = 0.25
80 %
11
16
28
63
251
90 %
14
21
38
84
336
Rappelons toutefois que l’on a un peu simplifié le problème en remplaçant les
quantiles d’une distribution de Student par ceux d’une distribution normale
standardisée (les n obtenus seraient sinon légèrement plus grands)
3 .
10.3 Exemples de calculs de taille d’échantillon
Le principe de calcul d’une taille d’échantillon présenté ci-dessus s’applique
à tous les tests statistiques. En voici quelques exemples (dans tous les cas, on
considère un test bilatéral)
4 :
• test de Student pour une différence de moyenne
→ H 0 : Δ = Δ
∗ , où Δ = μ 1 − μ 0 représente la différence des moyennes
de deux populations et Δ
∗ la valeur testée
3 On notera au passage que pour atteindre une puissance de 50 %, on utilise z 0.5 = 0 et la
formule devient n = 2(1.96/δ) 2 ≈ 8/δ 2 . Il s’agit de la formule que l’on avait utilisée dans la
section précédente pour déterminer à partir de quel n une différence standardisée observée
de b
δ = 0.2/
√
18.1 = 0.047 était significative. On avait en effet calculé n = 2 · (1.96/0.047) 2 ≈
3477. Calculer le n nécessaire pour qu’une valeur observée b
δ soit significative revient donc à
calculer le n nécessaire pour atteindre une puissance de 50 %, en postulant δ = b
δ.
4 La taille d’échantillon n nécessaire pour atteindre une puissance 1 − β dans un test
unilatéral au seuil α s’obtient en remplaçant z 1−α/2 par z 1−α dans les formules données
dans cette section.
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distribution normale standardisée :
z α/2 +
n/2 · |δ| = z 1−β .
On obtient dans les deux cas :
n =
2(z 1−α/2 + z 1−β )
2
δ 2
.
Exemple 10.3 Pour atteindre une puissance de 80 %, on utilise la formule
ci-dessus avec z 1−β = z 0.8 = 0.84. Pour atteindre une puissance de 90 %, on
utilise z 1−β = z 0.9 = 1.28. Au seuil de 5 %, on utilise par ailleurs z 1−α/2 =
z 0.975 = 1.96 et la formule est ainsi :
• n = 2(1.96 + 0.84)
2 /δ
2
≈ 16/δ
2 pour atteindre une puissance de 80 %
• n = 2(1.96 + 1.28)
2 /δ
2
≈ 21/δ
2 pour atteindre une puissance de 90 %.
On calcule alors les n suivants selon la valeur postulée de δ :
1 − β |δ| = 1.25 |δ| = 1 |δ| = 0.75 |δ| = 0.5 |δ| = 0.25
80 %
11
16
28
63
251
90 %
14
21
38
84
336
Rappelons toutefois que l’on a un peu simplifié le problème en remplaçant les
quantiles d’une distribution de Student par ceux d’une distribution normale
standardisée (les n obtenus seraient sinon légèrement plus grands)
3 .
10.3 Exemples de calculs de taille d’échantillon
Le principe de calcul d’une taille d’échantillon présenté ci-dessus s’applique
à tous les tests statistiques. En voici quelques exemples (dans tous les cas, on
considère un test bilatéral)
4 :
• test de Student pour une différence de moyenne
→ H 0 : Δ = Δ
∗ , où Δ = μ 1 − μ 0 représente la différence des moyennes
de deux populations et Δ
∗ la valeur testée
3 On notera au passage que pour atteindre une puissance de 50 %, on utilise z 0.5 = 0 et la
formule devient n = 2(1.96/δ) 2 ≈ 8/δ 2 . Il s’agit de la formule que l’on avait utilisée dans la
section précédente pour déterminer à partir de quel n une différence standardisée observée
de b
δ = 0.2/
√
18.1 = 0.047 était significative. On avait en effet calculé n = 2 · (1.96/0.047) 2 ≈
3477. Calculer le n nécessaire pour qu’une valeur observée b
δ soit significative revient donc à
calculer le n nécessaire pour atteindre une puissance de 50 %, en postulant δ = b
δ.
4 La taille d’échantillon n nécessaire pour atteindre une puissance 1 − β dans un test
unilatéral au seuil α s’obtient en remplaçant z 1−α/2 par z 1−α dans les formules données
dans cette section.