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Statistique appliquée aux sciences de la vie
l’hypothèse nulle sera rejetée ou non (car on ne connaît pas à l’avance quelle sera
la valeur observée de
δ). Il est toutefois possible de calculer la probabilité que
l’hypothèse nulle soit rejetée (la probabilité d’obtenir un résultat significatif) en
fonction de n et d’une hypothèse sur la véritable valeur de δ. Cette probabilité
est appelée la puissance du test (en anglais : power), notée 1 − β
1 .
La puissance d’un test est la probabilité d’obtenir un résultat significatif.
Dans notre exemple, on calcule la puissance du test comme suit :
1 − β = Pr
n/2 ·
δ ≤ z α/2
+ Pr
n/2 ·
δ ≥ z 1−α/2
.
Le premier terme est la probabilité de rejeter H 0 et de conclure Δ < 0. Le
second terme est la probabilité de rejeter H 0 et de conclure Δ > 0. Rappelons
que la variable aléatoire
Δ a une distribution normale avec moyenne Δ et
écart type
2/n · σ. Il s’ensuit que
δ a une distribution approximativement
normale avec moyenne δ et écart type
2/n, et donc que
n/2 ·
δ a une
distribution approximativement normale avec moyenne
n/2 · δ et écart type
1. Cela implique
2 :
1 − β =
z α/2
−∞
φ √
n/2·δ,1
(t) dt +
+∞
z 1−α/2
φ √
n/2·δ,1
(t) dt.
La figure 10.1 illustre ce calcul de puissance en nous montrant la densité de probabilité de la variable aléatoire
n/2 ·
δ pour différentes valeurs hypothétiques
de
n/2 · δ, ainsi que le résultat des deux intégrales ci-dessus avec α = 5 %
(la densité de probabilité de
n/2 ·
δ sous l’hypothèse nulle est par ailleurs
représentée par un trait fin dans chacun de ces graphiques). Dans le cas où
n/2 · δ = 0 (c’est-à-dire dans le cas où l’hypothèse nulle est vraie), on a 2.5 %
de conclure Δ < 0 et 2.5 % de conclure Δ > 0. Dans le cas où
n/2 · δ = 1, on
n’a plus que 0.2 % de conclure Δ < 0 mais on a 16.9 % de conclure Δ > 0. En
tout, on a donc une probabilité de 0.2 + 16.9 = 17.1 % d’obtenir un résultat
significatif (et donc une puissance de 17.1 %). La puissance du test augmente
à 51.6 % dans le cas où
n/2 · δ = 2 et à 85.1 % dans le cas où
n/2 · δ = 3.
Afin de pouvoir utiliser le tableau A.1 pour le calcul de la puissance de ce
test, il est utile de l’exprimer comme suit :
1 − β = Φ √
n/2·δ,1
(z α/2 ) +
1 − Φ √
n/2·δ,1
(z 1−α/2 )
1 On rappelle que β est l’erreur de seconde espèce, c’est-à-dire la probabilité de ne pas
rejeter H 0 alors que H 0 est fausse (l’erreur de première espèce α étant la probabilité de
rejeter H 0 alors que H 0 est vraie).
2 On rappelle que φμ,σ et Φμ,σ dénotent respectivement la densité de probabilité et la
fonction de répartition d’une distribution normale avec moyenne μ et écart type σ.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
l’hypothèse nulle sera rejetée ou non (car on ne connaît pas à l’avance quelle sera
la valeur observée de
δ). Il est toutefois possible de calculer la probabilité que
l’hypothèse nulle soit rejetée (la probabilité d’obtenir un résultat significatif) en
fonction de n et d’une hypothèse sur la véritable valeur de δ. Cette probabilité
est appelée la puissance du test (en anglais : power), notée 1 − β
1 .
La puissance d’un test est la probabilité d’obtenir un résultat significatif.
Dans notre exemple, on calcule la puissance du test comme suit :
1 − β = Pr
n/2 ·
δ ≤ z α/2
+ Pr
n/2 ·
δ ≥ z 1−α/2
.
Le premier terme est la probabilité de rejeter H 0 et de conclure Δ < 0. Le
second terme est la probabilité de rejeter H 0 et de conclure Δ > 0. Rappelons
que la variable aléatoire
Δ a une distribution normale avec moyenne Δ et
écart type
2/n · σ. Il s’ensuit que
δ a une distribution approximativement
normale avec moyenne δ et écart type
2/n, et donc que
n/2 ·
δ a une
distribution approximativement normale avec moyenne
n/2 · δ et écart type
1. Cela implique
2 :
1 − β =
z α/2
−∞
φ √
n/2·δ,1
(t) dt +
+∞
z 1−α/2
φ √
n/2·δ,1
(t) dt.
La figure 10.1 illustre ce calcul de puissance en nous montrant la densité de probabilité de la variable aléatoire
n/2 ·
δ pour différentes valeurs hypothétiques
de
n/2 · δ, ainsi que le résultat des deux intégrales ci-dessus avec α = 5 %
(la densité de probabilité de
n/2 ·
δ sous l’hypothèse nulle est par ailleurs
représentée par un trait fin dans chacun de ces graphiques). Dans le cas où
n/2 · δ = 0 (c’est-à-dire dans le cas où l’hypothèse nulle est vraie), on a 2.5 %
de conclure Δ < 0 et 2.5 % de conclure Δ > 0. Dans le cas où
n/2 · δ = 1, on
n’a plus que 0.2 % de conclure Δ < 0 mais on a 16.9 % de conclure Δ > 0. En
tout, on a donc une probabilité de 0.2 + 16.9 = 17.1 % d’obtenir un résultat
significatif (et donc une puissance de 17.1 %). La puissance du test augmente
à 51.6 % dans le cas où
n/2 · δ = 2 et à 85.1 % dans le cas où
n/2 · δ = 3.
Afin de pouvoir utiliser le tableau A.1 pour le calcul de la puissance de ce
test, il est utile de l’exprimer comme suit :
1 − β = Φ √
n/2·δ,1
(z α/2 ) +
1 − Φ √
n/2·δ,1
(z 1−α/2 )
1 On rappelle que β est l’erreur de seconde espèce, c’est-à-dire la probabilité de ne pas
rejeter H 0 alors que H 0 est fausse (l’erreur de première espèce α étant la probabilité de
rejeter H 0 alors que H 0 est vraie).
2 On rappelle que φμ,σ et Φμ,σ dénotent respectivement la densité de probabilité et la
fonction de répartition d’une distribution normale avec moyenne μ et écart type σ.