10. Calcul de taille d’échantillon
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• avec n = 10, on aurait t stat = 0.11 et p = 0.92
• avec n = 100, on aurait t stat = 0.33 et p = 0.74
• avec n = 1000, on aurait t stat = 1.05 et p = 0.29
• avec n = 5000, on aurait t stat = 2.35 et p = 0.02
• avec n = 10 000, on aurait t stat = 3.32 et p = 0.001.
La valeur p diminue lorsque n augmente. Une différence de 0.2 cm est certes
petite, mais si elle était observée sur de grands échantillons, elle serait bel et
bien significative, c’est-à-dire qu’elle ne pourrait pas être mise sur le compte du
hasard de l’échantillonnage. Plus exactement, elle serait significative au seuil
de 5 % si :
n/2 · 0.2/
√
18.1 ≥ 1.96
(on notera que pour simplifier, on a remplacé t 0.975,n−2 par z 0.975 ), c’est-à-dire
si :
n ≥ 2
1.96
0.2/
√
18.1
2
≈ 3477.
Plus généralement, toute différence observée (non exactement nulle) sera
significative si n est assez grand. Avec un grand échantillon, il y a en effet
peu de place pour le hasard et tout ou presque devient significatif. Ainsi, un
résultat significatif établi à partir d’un grand échantillon pourrait selon les cas
ne représenter aucun intérêt clinique ou pratique. Une valeur p seule n’est pas
suffisante pour juger de l’importance clinique d’un résultat.
10.2 Puissance d’un test statistique
Reprenons l’exemple d’un test de Student pour une différence de moyenne,
avec comme hypothèse nulle H 0 : Δ = 0 et deux tailles d’échantillons égales
n 1 = n 0 = n. L’hypothèse nulle est rejetée dans un test bilatéral au seuil α si :
n/2 · |
Δ|/˜ σ ≥ t 1−α/2,2n−2 .
Pour simplifier un peu l’exposé, nous remplacerons d’une part les quantiles
d’une distribution de Student t 1−α/2,2n−2 par ceux d’une normale standardisée
z 1−α/2 . D’autre part, afin de réduire le nombre de paramètres impliqués, on
utilisera
δ =
Δ/˜ σ, qui est une estimation de la différence de moyenne standardisée (voir chapitre 5). L’hypothèse nulle est ainsi rejetée dans un test bilatéral
au seuil α si :
n/2 · |
δ| ≥ z 1−α/2 .
Le résultat du test (rejet ou non-rejet de H 0 ) dépend donc de n et de
δ. Au
moment d’entreprendre une étude, il n’est évidemment pas possible de savoir si
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• avec n = 10, on aurait t stat = 0.11 et p = 0.92
• avec n = 100, on aurait t stat = 0.33 et p = 0.74
• avec n = 1000, on aurait t stat = 1.05 et p = 0.29
• avec n = 5000, on aurait t stat = 2.35 et p = 0.02
• avec n = 10 000, on aurait t stat = 3.32 et p = 0.001.
La valeur p diminue lorsque n augmente. Une différence de 0.2 cm est certes
petite, mais si elle était observée sur de grands échantillons, elle serait bel et
bien significative, c’est-à-dire qu’elle ne pourrait pas être mise sur le compte du
hasard de l’échantillonnage. Plus exactement, elle serait significative au seuil
de 5 % si :
n/2 · 0.2/
√
18.1 ≥ 1.96
(on notera que pour simplifier, on a remplacé t 0.975,n−2 par z 0.975 ), c’est-à-dire
si :
n ≥ 2
1.96
0.2/
√
18.1
2
≈ 3477.
Plus généralement, toute différence observée (non exactement nulle) sera
significative si n est assez grand. Avec un grand échantillon, il y a en effet
peu de place pour le hasard et tout ou presque devient significatif. Ainsi, un
résultat significatif établi à partir d’un grand échantillon pourrait selon les cas
ne représenter aucun intérêt clinique ou pratique. Une valeur p seule n’est pas
suffisante pour juger de l’importance clinique d’un résultat.
10.2 Puissance d’un test statistique
Reprenons l’exemple d’un test de Student pour une différence de moyenne,
avec comme hypothèse nulle H 0 : Δ = 0 et deux tailles d’échantillons égales
n 1 = n 0 = n. L’hypothèse nulle est rejetée dans un test bilatéral au seuil α si :
n/2 · |
Δ|/˜ σ ≥ t 1−α/2,2n−2 .
Pour simplifier un peu l’exposé, nous remplacerons d’une part les quantiles
d’une distribution de Student t 1−α/2,2n−2 par ceux d’une normale standardisée
z 1−α/2 . D’autre part, afin de réduire le nombre de paramètres impliqués, on
utilisera
δ =
Δ/˜ σ, qui est une estimation de la différence de moyenne standardisée (voir chapitre 5). L’hypothèse nulle est ainsi rejetée dans un test bilatéral
au seuil α si :
n/2 · |
δ| ≥ z 1−α/2 .
Le résultat du test (rejet ou non-rejet de H 0 ) dépend donc de n et de
δ. Au
moment d’entreprendre une étude, il n’est évidemment pas possible de savoir si