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Statistique appliquée aux sciences de la vie
10.1 Valeur p versus taille de l’échantillon
Nous allons illustrer l’influence de la taille de l’échantillon sur le résultat
d’un test statistique avec le test de Student pour une différence de moyenne
(H 0 : Δ = 0). Si les tailles des deux échantillons sont identiques, n 1 = n 0 = n,
on calcule :
t stat =
n/2 ·
Δ/˜ σ.
Cette statistique de test dépend explicitement de trois facteurs :
• la différence de moyenne observée
Δ : la statistique de test est
d’autant plus élevée (en valeur absolue) que cette différence est grande
• l’estimation de l’écart type commun ˜
σ : la statistique de test est
d’autant plus élevée (en valeur absolue) que cet écart type est petit
• la racine carrée de la taille de l’échantillon
√
n : la statistique
de test est d’autant plus élevée (en valeur absolue) que l’échantillon est
grand.
Rappelons que la valeur p (et donc la significativité du résultat) dépend de la
statistique de test calculée : la valeur p est d’autant plus petite que la statistique
de test t stat calculée est élevée.
Exemple 10.1 Dans l’exemple des Onobrychis, on avait n 1 = n 0 = n = 60,
Δ = 9.1 cm et ˜
σ =
√
18.1 = 4.3 cm. On calcule donc :
t stat =
60/2 · 9.1/
√
18.1 = 11.7
et on obtient un résultat significatif : p < 0.0001. Regardons à présent ce que
vaudrait cette valeur p (dans un test bilatéral) si on avait observé ces mêmes
quantités
Δ = 9.1 cm et ˜
σ =
√
18.1 = 4.3 cm sur des échantillons n plus petits :
• avec n = 30, on aurait t stat = 8.3 et p < 0.0001
• avec n = 20, on aurait t stat = 6.8 et p < 0.0001
• avec n = 10, on aurait t stat = 4.8 et p = 0.00015
• avec n = 5, on aurait t stat = 3.4 et p = 0.01
• avec n = 3, on aurait t stat = 2.6 et p = 0.06.
La valeur p augmente lorsque n diminue. Avec seulement n = 3 Onobrychis par
groupe, le résultat n’est plus significatif (on ne pourrait dans ce cas pas exclure
qu’une différence observée de 9.1 cm soit due au hasard de l’échantillonnage).
Exemple 10.2 Considérons à présent le cas où l’on observerait une toute petite différence de
Δ = 0.2 cm entre deux groupes d’Onobrychis (avec par ailleurs
˜
σ =
√
18.1 = 4.3 cm comme ci-dessus). On aurait alors les résultats suivants
selon la taille n des échantillons (dans un test bilatéral) :
Statistique appliquée aux sciences de la vie
10.1 Valeur p versus taille de l’échantillon
Nous allons illustrer l’influence de la taille de l’échantillon sur le résultat
d’un test statistique avec le test de Student pour une différence de moyenne
(H 0 : Δ = 0). Si les tailles des deux échantillons sont identiques, n 1 = n 0 = n,
on calcule :
t stat =
n/2 ·
Δ/˜ σ.
Cette statistique de test dépend explicitement de trois facteurs :
• la différence de moyenne observée
Δ : la statistique de test est
d’autant plus élevée (en valeur absolue) que cette différence est grande
• l’estimation de l’écart type commun ˜
σ : la statistique de test est
d’autant plus élevée (en valeur absolue) que cet écart type est petit
• la racine carrée de la taille de l’échantillon
√
n : la statistique
de test est d’autant plus élevée (en valeur absolue) que l’échantillon est
grand.
Rappelons que la valeur p (et donc la significativité du résultat) dépend de la
statistique de test calculée : la valeur p est d’autant plus petite que la statistique
de test t stat calculée est élevée.
Exemple 10.1 Dans l’exemple des Onobrychis, on avait n 1 = n 0 = n = 60,
Δ = 9.1 cm et ˜
σ =
√
18.1 = 4.3 cm. On calcule donc :
t stat =
60/2 · 9.1/
√
18.1 = 11.7
et on obtient un résultat significatif : p < 0.0001. Regardons à présent ce que
vaudrait cette valeur p (dans un test bilatéral) si on avait observé ces mêmes
quantités
Δ = 9.1 cm et ˜
σ =
√
18.1 = 4.3 cm sur des échantillons n plus petits :
• avec n = 30, on aurait t stat = 8.3 et p < 0.0001
• avec n = 20, on aurait t stat = 6.8 et p < 0.0001
• avec n = 10, on aurait t stat = 4.8 et p = 0.00015
• avec n = 5, on aurait t stat = 3.4 et p = 0.01
• avec n = 3, on aurait t stat = 2.6 et p = 0.06.
La valeur p augmente lorsque n diminue. Avec seulement n = 3 Onobrychis par
groupe, le résultat n’est plus significatif (on ne pourrait dans ce cas pas exclure
qu’une différence observée de 9.1 cm soit due au hasard de l’échantillonnage).
Exemple 10.2 Considérons à présent le cas où l’on observerait une toute petite différence de
Δ = 0.2 cm entre deux groupes d’Onobrychis (avec par ailleurs
˜
σ =
√
18.1 = 4.3 cm comme ci-dessus). On aurait alors les résultats suivants
selon la taille n des échantillons (dans un test bilatéral) :