9. Tests de Wald et de Student
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9.4 Test de Student pour une moyenne
Lorsque l’on désire comparer la moyenne μ d’une variable continue avec une
valeur de référence μ
∗ , on considère l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : μ = μ
∗ .
La statistique de test d’un test de Wald est donnée ici par :
T stat =
μ − μ
∗
˜
σ/
√
n
où n représente la taille de l’échantillon,
μ et ˜
σ
2 dénotant nos estimateurs de
la moyenne μ et de la variance σ
2 de la variable en question.
Un test de Wald pour une moyenne est en dualité avec un intervalle de
confiance de Wald pour cette moyenne. On a vu cependant au chapitre 4 que
lorsqu’il s’agit de calculer un intervalle de confiance pour une moyenne, on
préfère calculer un intervalle de confiance de Student, dont la validité est en
général supérieure, et qui a l’avantage d’être exact lorsque les observations sont
normales. Le test statistique qui est en dualité avec un intervalle de confiance
de Student est appelé test de Student (en anglais : one-sample t-test). Pour
effectuer ce test, on compare la statistique de test ci-dessus non pas à une
distribution normale standardisée (comme on le ferait pour un test de Wald),
mais à une distribution de Student avec n − 1 dl. On rejette ainsi H 0 au seuil
α :
• si t stat ≤ t α,n−1 dans un test unilatéral à gauche
• si t stat ≥ t 1−α,n−1 dans un test unilatéral à droite
• si |t stat | ≥ t 1−α/2,n−1 dans un test bilatéral.
Dans le cas d’un rejet de H 0 , on conclut comme d’habitude :
• μ < μ
∗ dans le cas où t stat < 0 (et donc
μ < μ
∗ )
• μ > μ
∗ dans le cas où t stat > 0 (et donc
μ > μ
∗ ).
Le calcul de la valeur p se fera le plus souvent à l’aide d’un logiciel statistique
car il implique les quantiles d’une distribution de Student de la façon suivante
4 :
où b
π = (n 1 b
π 1 +n 0 b
π 0 )/(n 1 +n 0 ) est une moyenne pondérée de b
π 1 et b
π 0 . La différence apparaît
à nouveau au dénominateur, c’est-à-dire au niveau de l’estimation de l’erreur type de b
Λ, qui
vaut en réalité SE( b
Λ) =
p
(π 1 (1 − π 1 ))/n 1 + (π 0 (1 − π 0 ))/n 0 . Alors que cette erreur type
est estimée empiriquement dans un test de Wald, elle est (en quelque sorte) estimée sous
l’hypothèse nulle dans un test du khi-deux, où l’on suppose π 1 = π 0 , d’où l’estimation d’une
« proportion commune » b
π, ce qui permet d’améliorer la validité du test.
4 Dans R, on pourra ici calculer la valeur p à partir de la statistique de test tstat par
la commande pt(tstat,n-1), pt(-tstat,n-1) ou 2*pt(-abs(tstat),n-1), respectivement
dans un test unilatéral à gauche, dans un test unilatéral à droite et dans un test bilatéral,
où n dénote la taille de l’échantillon.
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9.4 Test de Student pour une moyenne
Lorsque l’on désire comparer la moyenne μ d’une variable continue avec une
valeur de référence μ
∗ , on considère l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : μ = μ
∗ .
La statistique de test d’un test de Wald est donnée ici par :
T stat =
μ − μ
∗
˜
σ/
√
n
où n représente la taille de l’échantillon,
μ et ˜
σ
2 dénotant nos estimateurs de
la moyenne μ et de la variance σ
2 de la variable en question.
Un test de Wald pour une moyenne est en dualité avec un intervalle de
confiance de Wald pour cette moyenne. On a vu cependant au chapitre 4 que
lorsqu’il s’agit de calculer un intervalle de confiance pour une moyenne, on
préfère calculer un intervalle de confiance de Student, dont la validité est en
général supérieure, et qui a l’avantage d’être exact lorsque les observations sont
normales. Le test statistique qui est en dualité avec un intervalle de confiance
de Student est appelé test de Student (en anglais : one-sample t-test). Pour
effectuer ce test, on compare la statistique de test ci-dessus non pas à une
distribution normale standardisée (comme on le ferait pour un test de Wald),
mais à une distribution de Student avec n − 1 dl. On rejette ainsi H 0 au seuil
α :
• si t stat ≤ t α,n−1 dans un test unilatéral à gauche
• si t stat ≥ t 1−α,n−1 dans un test unilatéral à droite
• si |t stat | ≥ t 1−α/2,n−1 dans un test bilatéral.
Dans le cas d’un rejet de H 0 , on conclut comme d’habitude :
• μ < μ
∗ dans le cas où t stat < 0 (et donc
μ < μ
∗ )
• μ > μ
∗ dans le cas où t stat > 0 (et donc
μ > μ
∗ ).
Le calcul de la valeur p se fera le plus souvent à l’aide d’un logiciel statistique
car il implique les quantiles d’une distribution de Student de la façon suivante
4 :
où b
π = (n 1 b
π 1 +n 0 b
π 0 )/(n 1 +n 0 ) est une moyenne pondérée de b
π 1 et b
π 0 . La différence apparaît
à nouveau au dénominateur, c’est-à-dire au niveau de l’estimation de l’erreur type de b
Λ, qui
vaut en réalité SE( b
Λ) =
p
(π 1 (1 − π 1 ))/n 1 + (π 0 (1 − π 0 ))/n 0 . Alors que cette erreur type
est estimée empiriquement dans un test de Wald, elle est (en quelque sorte) estimée sous
l’hypothèse nulle dans un test du khi-deux, où l’on suppose π 1 = π 0 , d’où l’estimation d’une
« proportion commune » b
π, ce qui permet d’améliorer la validité du test.
4 Dans R, on pourra ici calculer la valeur p à partir de la statistique de test tstat par
la commande pt(tstat,n-1), pt(-tstat,n-1) ou 2*pt(-abs(tstat),n-1), respectivement
dans un test unilatéral à gauche, dans un test unilatéral à droite et dans un test bilatéral,
où n dénote la taille de l’échantillon.